Polynomes-division

[dilzydils]

Bonsoir

Je dois determiner l'ensembles entiers non nuls tels que (X^2+X+1)^2 divise (X+1)^n-X^n-1 dans R[X].
Hormis la constatation n>=5, je vois pas grand chose

Merci pour l'aide

[hans]

A mon avis l'ensemble est pas très grand, car si le petit polynome divise le grand, comme le petit a des racines doubles, le grand en aura aussi et sa dérivée et lui-meme auront un facteur commun. Il suffit de regarder les racines de la dérivée pour voir que les cas ou elles annulent le grand polynome sont rares...

[nuage]

Salut,
Ici on connaît les racines de .
il s'agit de et lié par la relation .
On voit donc que si est racine de alors l'est aussi.
Il en est de mêmepour la dérivée.
Reste à déterminer n pour que soit racine de et de

On trouve une infinité de solutions (utiliser des congruences).

A+

[thomasg]

Bonjour,

juste une petite remarque, il me semble que le j proposé n'est pas bon

les deux racines doubles de ce polynôme ne seraient pas plutôt
j=(-1-i*rac(3))/2 et 1-j

Pour la suite, les solutions proposée manquent de détail pour moi. Si vous pouviez expliquer plus.

Merci. Au revoir.

[hakoo]

Bonsoir

Je dois determiner l'ensembles entiers non nuls tels que (X^2+X+1)^2 divise (X+1)^n-X^n-1 dans R[X].
Hormis la constatation n>=5, je vois pas grand chose

Merci pour l'aide

pour qu'il le devise il faut que le reste soit nul.il faut trouver l'expression du reste.en remarque que les racines de diviseur sont J et le symétrique de J
et le reste s'ecrit :ax^3+bx^2+cx+d et en remplaçant J dans le devisé et dans le reste .en remarque que il y'a 6cas n pair ou impair.et pour chaque cas
n=3k,n=3k+1,n=3k+2

[nuage]

Bonjour,

juste une petite remarque, il me semble que le j proposé n'est pas bon

les deux racines doubles de ce polynôme ne seraient pas plutôt
j=(-1-i*rac(3))/2 et 1-j

Pour la suite, les solutions proposée manquent de détail pour moi. Si vous pouviez expliquer plus.

Merci. Au revoir.

En effet j = (-1+i*rac(3))/2 et j^2 = (-1-i*rac(3))/2 .
En fait la valeur précise n'a aucune importance par contre, et j'ai oublié de le préciser, j^3=1 est le résultat important à utiliser.