Polynômes à deux variables

[zwijndrecht]

Bonjour,
Soit un corps algébriquement clos.
J'aimerais montrer qu'on ne peut pas trouver deux polynômes tels que :
Si deux tels polynômes existent, on a nécessairement (sinon, on aurait ) et (sinon, on aurait ).
Partant de là, ça me paraît "évident" que ce n'est pas possible, mais je ne parviens pas à trouver un argument correct pour l'écrire correctement...
Quelqu'un aurait-il une idée ?
Merci d'avance pour votre aide.

[mathelot]

bonjour,
par l'absurde,faire un raisonnement sur les degrés des polynômes

[zwijndrecht]

C'est à dire ?

[GaBuZoMeu]

Il y a beaucoup plus simple : évaluer en un point de bien choisi.

[mathelot]

C'est à dire ?

on appelle le degré global de P,d'indéterminées et
par exemple

si (*)


si ou

donc l'égalité (*) est impossible

[GaBuZoMeu]

Ce raisonnement nécessite pour le moins quelques rustines : le degré de n'est certainement pas supérieur ou égal à 1.

[mathelot]

oui, ça ne marche pas

[GaBuZoMeu]

Ça marche en parlant de la valuation plutôt que du degré. Mais l'évaluation en un point bien choisi (facile à deviner) reste plus simple.

[mathelot]

oui, je vois.

[zwijndrecht]

Il y a beaucoup plus simple : évaluer en un point de bien choisi.

J'ai bien pensé à évaluer en , mais le problème, c'est qu'à la base, je souhaitais montrer que ne peut pas s'écrire sous la forme , avec (ce qui est équivalent au problème que j'ai énoncé au dessus).
Du coup, j'hésite à poser ou (car à la base, ce sont des valeurs "interdites")...
J'aurais préféré un argument de divisibilité (ou sur les degrés).

[mathelot]

Du coup, j'hésite à poser ou

est une indéterminée (un objet qui indique comment les opérations sur les polynômes se traduisent en opération sur les coefficients (comme par exemple, le produit de Cauchy)). Tu peux poser mais pas parce que ,lui,est une variable de fonction polynôme

[zwijndrecht]

Ok, mais du coup, le fait de poser alors que dans mon problème de départ, on peut ne justement pas évaluer la fonction polynômiale associée en , ce n'est pas "gênant" ?
J'y ai bien pensé, mais j'ai comme l'impression qu'il y a une "arnaque" quelque part...

[GaBuZoMeu]

Ton égalité de fractions rationnelles est équivalente à l'égalité polynomiale , et il n'y a vraiment aucun problème à évaluer cette égalité polynomiale en (0,0).

[zwijndrecht]

Mais la première égalité ne s'évalue pas en (0,0)... C'est ça qui me pose problème...

[mathelot]

non, il n'y a pas d'arnaque,ça marche.

Par exemple, pour la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples:

a,b complexes

pour calculer a, on multiplie tout par et on remplace ensuite z par i

[mathelot]

Mais la première égalité ne s'évalue pas en (0,0)... C'est ça qui me pose problème...

on ne cherche pas une équivalence mais juste une implication. Comme la conclusion est fausse, c'est l'hypothèse qui est fausse.

[GaBuZoMeu]

Mais la première égalité ne s'évalue pas en (0,0)... C'est ça qui me pose problème...

C'est que tu ne réalises pas bien ce que sont les fractions rationnelles. Il faut les penser comme objets algébriques, et pas comme fonctions.
N'es-tu pas d'accord que l'égalité entre fractions rationnelles est équivalente à l'égalité polynomiale ?

[mathelot]

C'est que tu ne réalises pas bien ce que sont les fractions rationnelles. Il faut les penser comme objets algébriques, et pas comme fonctions.
N'es-tu pas d'accord que l'égalité entre fractions rationnelles est équivalente à l'égalité polynomiale ?

est un anneau intègre, il a donc un corps de fractions. Tout polynôme non nul est inversible (admet un inverse)

[zwijndrecht]

non, il n'y a pas d'arnaque,ça marche.

Par exemple, pour la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples:

a,b complexes

pour calculer a, on multiplie tout par et on remplace ensuite z par i

En général, je fais plutôt tendre vers ...

[zwijndrecht]

Mais la première égalité ne s'évalue pas en (0,0)... C'est ça qui me pose problème...

C'est que tu ne réalises pas bien ce que sont les fractions rationnelles. Il faut les penser comme objets algébriques, et pas comme fonctions.
N'es-tu pas d'accord que l'égalité entre fractions rationnelles est équivalente à l'égalité polynomiale ?

Certes, mais pour moi, on avait équivalence pour et ...