Polynomes decomposer

[naruto-next]

salut,

je comprend pas la decomposition d'une fration rationnel sur R ou C :

je voudrais par exemple sur cette exemple : 1 / (X^4 - X )

je m'en fou du resultats je veut juste comprendre comment on procede .

et soit p(x) = 3x^7;) 4x^6;) 3x + 4.
Scinder p(x) sur C .

merci

[JackeOLanterne]

= soit une partie entière (un polynôme) et polaire (des éléments simples).
Dans le 1er exemple . L'objectif reste de déterminer les racines (ou pôles) de .
Dans C, un polynôme de degré n aura n racines mais dans R seules les racines réelles existent.

Une méthode complète sur l'algorithme de décomposition est pratique pour saisir le mécanisme.

[naruto-next]

salut ,


c'est bon j'ai reussi a decomposer pour 1 / x^4 - x mais je bloque toujours sur :

soit p(x) = 3x^7;) 4x^6;) 3x + 4.
Scinder p(x) sur C .

je n'ai aucune idée de la maniere a procéder pour resoudre cet exo

[fibonacci]

Bonjour:



vérifier s'il y a des racines évidentes

ici ça saute aux yeux pour x=1


voir s'il n'y a pas d'autre et continuer comme le suggère JackeOLanterne

à partir de cet autre résultat il apparait une factorisation

au final on se retrouve avec 5 facteurs.

[ouragh]

Bonjour:



vérifier s'il y a des racines évidentes

ici ça saute aux yeux pour x=1


voir s'il n'y a pas d'autre et continuer comme le suggère JackeOLanterne

à partir de cet autre résultat il apparait une factorisation

au final on se retrouve avec 5 facteurs.

Bonjour ,

Sachez tout d'abord qu'il a été démontré ( depuis au départ Ruffini , puis par Abel et enfin et surtout par Le Galois) que toute recherche de racines de polynôme de degré supérieur ou égal à cinq ne peut être trouvée par des combinaisons des racines ( et donc des coefficients ) de ce polynôme et que seules l'approche des méthodes numériques qui est appliquée dans de tels cas . Neanmloins comme l'a si bien dit "fibonacci" il faut essayer si certaines valeurs telles que +-1,+-2,+-3,... ne serait pas racines du polynômes étudié. En fait pour effectuer une telle vérification il est toujours conseillée d'utiliser la méthode de Ruffini-Horner , technique qui s'exécute sur un tableau ou encore mieu par la méthode d'O.R. Si donc une racine est trouvée ( avec son ordre!) one seffectue une division euclidienne sur tableau d'O.R et recommence la même démarche pour le polynôme quotien ainsi trouvé. Enfin pour revenir au polynôme que vous proposé , on dispose de la racine citée par fibonacci qui est x=1 vérifons sur tableau d'O.R. si cette racine n'est pas double

4 . -3 .. 0 . 0 . 0 . . 0 . .-4 . 3 . (1)

0 . -4 . -1 . -1 .-1 . -1 . -1 . 3

. . -6 . -2 . -1 . . 0 . 1 . . 2 . 3

Ainsi on remarque x=1 est une racine simple ( car le reste à la seconde division euclidienne sur ce tableau d'O.R est (-6).
De même on relève sur ce tableau que le quotient Q1(x) est
Q1(x)= 3x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-4
Pour ce dernier quotient on vient de voir que x=1 n'est pas racine de ce polynôme.
Essayer à présent x=-1 ,.....
Cordialement .

[naruto-next]

re , partant de 0 ? Je dois scinder p(x) sur C donc avoir px sous les forme de produit de x - xi etant xi une racine ? sachant que sur C il y a n racine ( n etant le degré le plus haut de px ) donc je dois avoir un polynomes sous forme factorisé sous 7 facteur ?

merci de m'eclairer

[Sa Majesté]

Oui tu obtiens bien un produit de 7 facteurs

[fibonacci]

2 racines apparentes -1,+1

puis on continue









dans R

[Sa Majesté]

Reste plus qu'à décomposer et

[naruto-next]

ok merci donc ca donne :
(x-1)(x+1)(3x-4)(x - 1/2 - V3i/2 )(x - 1/2 + V3i/2 )( x + 1/2 +V3i/2 )( x + 1/2 - V3i/2 )

Sur C c'est ca ?

merci

[Sa Majesté]

Oui c'est ça