Polynômes cyclotomiques

[egan]

Salut tout le monde.
J'essaye de montrer ce truc là:


J'ai un problème concernant le plan d'attaque.
Ces deux polynômes sont unitaires. Si on montre qu'ils sont scindés simples et qu'ils ont les même racines, c'est fini (enfin si je me trompe pas).
Montrer qu'ils ont les même racines et qu'ils sont scindés, c'est bon je comprends.
Le premier est scindé simple, c'est évident mais le deuxième je bloque.

Est-ce que je pars sur une mauvaise base ou alors c'est bon mon truc.
Pour montrer que le deuxième est scindé simple, j'ai essayé de raisonner par l'absurde mais ça n'a pas abouti. Cela revient à montrer que les racines primitives n-ièmes de l'unité n'appartiennent qu'à et à aucun autre .

Voilà voilà vous savez tout.
@+ Boris.

[Nightmare]

Salut,

très rapidement, on partitionne en les , ensemble des racines d-ème primitives de l'unité.

[barbu23]

Il y'a une petite demonstration simple, par ici :
http://www.les-mathematiques.net/d/a/w/node4.php3
Le même principe que celui de Nightmare ! :happy3:

[egan]

Ok merci pour le lien.
Est-ce que cette proposition est vraie?

Soit et deux entiers naturels non nuls tels que .
Alors

[Anonyme]

Salut !

Ce lien peut-t-être également utile je pense :
http://tanopah.jo.free.fr/epilogues/cyclo.pdf

[egan]

Ah parfait ! Je l'ai bien potassé celui là mais ya un truc que je comprends pas.
Je suis d'accord avec lui sur l'histoire des racines. Par contre une fois qu'il a montré que les racines de l'un était les racines de l'autre, ya un truc que je comprends pas.
Lui il dit que les racines sont les mêmes, que les deux polynômes sont unitaires et que x^n-1 est scindé simple: jusque là tout va bien.
Mais il faudrait aussi montrer que la partie de droite de l'égalité est un polynôme scindé simple sinon on ne peut pas conclure.
Je ne vois pas du tout comment montrer ça.

[Doraki]

Ok merci pour le lien.
Est-ce que cette proposition est vraie?

Soit et deux entiers naturels non nuls tels que .
Alors

oui, les éléments de l'ensemble de gauche sont exactement les racines d'ordre d1, tandis que ceux de l'ensemble de droite sont les racines d'ordre d2.

x est racine de Phi_n x est d'ordre n (x^n = 1, et si 0<k<n, x^k est différent de 1).
Ces ensembles sont disjoints

[egan]

Donc si j'ai à peu près suivi le raisonnement est le suivant.
On montre que l'ensemble de gauche correspond aux racines n-ièmes de l'unité d'ordre d1.
On fait la même chose avec l'ensemble de gauche mais avec l'ordre d2.
Si jamais un élément appartient au deux en même temps, il a deux ordres différents donc par unicité de l'ordre, il y a absurdité.

Par contre, je ne vois pas où tu veux en venir avec ta deuxième remarque.

[Ben314]

Salut,
Quelques remarques :

1) A mon avis, dans tes exponentielles, il manque (cruellement) des "i".

2) Vu que la fonction est injective sur , et que les quotients et sont (par construction) irréductibles avec des dénominateurs différents on déduit que...

3) C'est quoi la "deuxième remarque" de Doraki ?

4)

...Mais il faudrait aussi montrer que la partie de droite de l'égalité (laquelle ?) est un polynôme scindé...

J'espère que tu n'est pas en train de te demander pourquoi le produit des (pour d qui divise n) est simple et scindé...
Si c'est le cas, remonte jeter un coup d'oeil à la définition de , juste pour voir...

[egan]

Pour:
-1, désolé pour l'oubli.
-2, oui c'est pas mal de le voir comme ça aussi.
-3, la remarque est la suivante:
x est racine de Phi_n x est d'ordre n (x^n = 1, et si 0<k<n, x^k est différent de 1).
-4, je trouvais pas ça évident que le produit des est scindé simple. C'est pour ça que j'ai proposé l'égalité avec l'intersection: je me doutais bien qu'il fallait démontrer ça mais je bloquais. La manière de la voir de Doraki m'a bien aidé.
Comment tu le vois ce truc là toi ?

[Ben314]

Ben je vois deux possibilités :

1) Comme le fait le pdf et Doraki (c'est plus joli) :
La déf :
" est le produit des où décrit l'ensemble des racines primitives n-ièmes de l'unité dans "
te dit précisément que est le produit des où décrit l'ensemble des racines primitives d-ièmes de l'unité avec qui divise (et il est clair que les sont distincts : un élément d'un groupe n'a qu'un seul ordre !!!!)
Il reste à voir que cet "ensemble des tels que..." est exactement l'ensemble des racines n-ièmes (pas forcément primitives) de l'unité dans (c'est trés simple par double inclusion) pour en déduire que

2) Un peu plus à la main mais quasi pareil :
On montre facilement que est le produit des où est irréductible.
Donc est le produit des où irréductible et d qui divise n.
Sauf que l'ensemble des irréductible où d divise n, ben c'est exactement l'ensemble des pas forcément irréductible (il suffit de... les rendre irréductibles !!!)
et on conclue de même.