Polynômes - d'après HEC 2004

[RoMz34]

Bonjour,

j'ai actuellement un DM à rendre pour la rentrée. Il est inspiré d'après une sujet HEC ECE 2004.
Voici donc l'énoncé :

Problème :

Soit . On considère l'application s suivante, définie sur , qui à un polynôme P de la forme associe le polynôme

1) Dans le cas particulier n = 2, calculer s(1), s(X), s(X^2) et s(2 - 4X + 3X^2 + 5X^3 - X^4)


Donc j'ai calculer . Je ne sais pas s'il faut simplifier ou quoi ...
Ensuite
Ensuite pareille pour X^2 sauf pour P.
Pensez-vous qu'il faut développer ? (je le ferais plus tard, ça n'est pas trop dur, c'est après que ça se corse).


2) Pour que peut-on dire de deg(s(P)) ?

Si mes souvenirs sont bon, il me semble que c'est égale a deg(s°P) = deg(s) x deg(P)


3) On considère Montrer que


Alors voici ma réponse, (argh, je ne sais pas faire les rond en TEX :/)

Voila mes quelques réponses. Quelqu'un pourrait me dire ce qu'il en pense ? Merci

[Bony]

L'application s permet en fait d'échanger les indices de tes polynômes.

Le premier devient le dernier, le 2eme devient l'avant dernier, etc..

On ne peut en pratique rien dire du degré de s(P), puisque tout ce qu'on sait de P c'est que a(2n) est non nul.

Toutefois, si a(0) est non nul, étant donné que le dernier coefficient devient le premier et vice versa, t'en déduis que le coefficient de X^(2n) est non nul et par conséquent le polynome s(P) est de degré...

[RoMz34]

L'application s permet en fait d'échanger les indices de tes polynômes.

Le premier devient le dernier, le 2eme devient l'avant dernier, etc..

On ne peut en pratique rien dire du degré de s(P), puisque tout ce qu'on sait de P c'est que a(2n) est non nul.

Toutefois, si a(0) est non nul, étant donné que le dernier coefficient devient le premier et vice versa, t'en déduis que le coefficient de X^(2n) est non nul et par conséquent le polynome s(P) est de degré...

Oula, j'avoue ne pas avoir compris.

J'ai certainement mal lu l'énoncé. J'avais compris que s(P) c'était une composé (s rond P) mais d'après ce que tu me dit, s & P n'ont pas de lien ?

Du coup, S inverse bien mes indice, (on associe a0 a X^4 au lieu de a4 etc.)
Mais dans ce cas la, pourquoi s(P) = .. et pas s = ??

[Bony]

L'application s est une application qui a un polynome associe un polynome.

s en temps que telle n'est pas définie tu ne peux pas écrire s = .. car s prend un polynome en argument (sans quoi il n'y a pas d'indice à intervertir)

[RoMz34]

On est d'accord ^^.

Donc ma réponse 1 est bonne ?

[Bony]

Beh non.

Si tu prends le polynôme P(X) = 1 pour tout X.
Tu inverses les coefficients, et s(P)(X) = 1 pour tout X

Pour X^2 c'est pareil

[RoMz34]

Ah oui, je comprend mon erreur ^^.

J'ai pris P(1) au lieu de prendre P(X) = 1.
Merci.

[RoMz34]

Donc je reprend pour la question 1).

On a

ensuite,
ensuite,
pour le dernier, je l'ai fait sur papier. Si ceux-la sont bon, a priori c'est que j'ai compris .


Pour la question 2, si je suis bien ton raisonnement, le polynôme 2n (si a0 est non nul) sinon, il est inférieur a 2n.

edit : pour la question 2, je ne suis pas d'accord, car si P est de degré 2 par exemple, on a un degré 8 pour s. Donc, je dirais biens deg(s) . deg(P) soit 2m * 2n

[RoMz34]

Un peu d'aide s'il vous plait :).

[Bony]

je sais pas je t'explique des choses et j'ai l'impression que ça ressort par l'autre oreille instantanément

[RoMz34]

je sais pas je t'explique des choses et j'ai l'impression que ça ressort par l'autre oreille instantanément

Je souhaite m'excuser. Ce n'est pas de la mauvaise fois, j'ai beaucoup de mal avec ce chapitre.
Je pense avoir mis le doigt sur mon erreur de raisonnement : je considère s comme un polynôme alors qu'il s'agit d'une application. Elle permet de comme tu l'as dit d'échanger les coefficients des polynômes.

Moi, lorsque je calculais s(1), je remplaçais les X par 1, or d'après ce que tu dit, lors d'une application, il faut échanger les coefficients, mais comme ici, c'est degré 0, on a qu'un coefficient, c'est à dire 1. Du coup, s(1) = 1
Pour s(X), on a encore qu'un seul coef, donc on l'échange avec lui même, on obtient
s(X) = X, idem pour s(X^2) = X^2.

Du coup,

Je m'excuse encore pour mes précédents post, j'avoue que j'aurais du mieux lire.

EDIT : je pense encore m'être tromper.
Pour P = X , on a a0 = 0 et a1 = 1.
du coup, s(X) on inverse , on a s(X) = 1
idem pour s(X^2) = 1

[Bony]

C'est déjà mieux.

Sinon il manque un signe - quelque part

[RoMz34]

D'accord :).
Du coup, deg(s(P)) = 2n si a0 différent de 0, sinon, deg(s(P)) < 2n

edit : le signe - est ajouté ;).

[Bony]

Eh voilà c'est ça.

[RoMz34]

Je reprend donc la (3)


on peut sortir lambda et mu vu que ce sont des constante (on à une définition admise pour ça).

Du coup,

ça à l'air cohérent ^^.

[RoMz34]

J'attaque la (4) :

Soit . Calculer s(s(P)). Que peut-on en déduire pour s ?

Donc, je trouve s(s(P)) = P (mais je ne l'ai pas calculer, je l'ai déduit de ce que l'on a dit pour s, qui échange les coef, si on les échange une fois, puis encore une fois, on revient à notre polynôme de base).`

Edit : on peut en déduire que s admet une symétrie axiale par rapport à l'axe y = x

Pour la (5) :

Soient non nul et tels que Montrer que

Je suis en train de chercher . Quelqu'un peut-il me dire si mes résultats précédents sont bon ? Merci beaucoup.

[RoMz34]

J'ai trouvé une piste,


==> (d'après la question 4)
==> (par rapport à la question 3)
==> (on remplace par l'équation de la question 5)

deux possibilités pour lambda, 1 ou -1.

J'attaque maintenant la série de question 6 :

On définit la famille de polynômes par :
si
si
si

6.1) Pour tout , calculer

Vu que s inverse les indices, je dirais que :
si
si
si

Donc pour moi, il n'y a qu'un signe qui change. Toujours la même chose, pour le "calculer", je ne vois pas quel précision apporter, mais si je met le résultat tel quel il va manquer quelque chose non ?

Ensuite, 6.2) On considère des réels tels que .
Montrer que

je réfléchit à la question .

[RoMz34]

J'attaque la 7) car la 6.2) me laisse perplexe même si il semble évident que quelques soit lambda réelles, quand on va additionner le tout, il restera des X, je ne vois pas comment l'expliquer. Peut-être qu'une petite aide serait la bienvenue ^^.

Voici la 7)
On définit une suite de polynômes par : et

7.1) Détermine les polynômes

Donc,


7.2) Montrer par récurrence que pour tout est un polynôme unitaire de degré k tel que :

Je pense qu'il faut faire une récurrence à deux pas comme ça on peut se servir de la relation de récurrence.

Initialisation :
P(1) vrai
donc P(2) vrai

Hérédité : Soit , supposons P(k) et P(k+1) et montrons P(k+2), câd est un polynôme unitaire de degré k+2 tel que

D'après la relation de récurrence,
donc
on remplace, d'après l'hypothèse de récurrence :








Donc on est bon,

Quelqu'un peut-il vérifier et me dire si mes résultats sont bon s'il vous plait

[Bony]

Pour la 3) et la 4) et la 5) les résultats sont bons.

Dans la question 6.2 on te demande de montrer qu'une famille est libre en fait. Tu connais le théorème du degré étagé?

[RoMz34]

Pour la 3) et la 4) et la 5) les résultats sont bons.

Dans la question 6.2 on te demande de montrer qu'une famille est libre en fait. Tu connais le théorème du degré étagé?

Il ne me semble pas qu'on est un tel théorème dans le cours, du moins pas avec ce nom. Je vais voir mon cours si il n'y a pas des choses qui s’apparente à ça .