Polynôme de Taylor

[Dinozzo13]

Bonsoir, par définition du polynôme de Taylor-Young : pour une fonction dérivable fois en , on a :
.

J'aimerais savoir s'il existe une formule semblable lorsque et plus généralement .
Et si une telle formule existe, peux-t-on éviter de long et "dangeureux" calculs ?

[Mathusalem]

Bonsoir, par définition du polynôme de Taylor-Young : pour une fonction dérivable fois en , on a :
.

J'aimerais savoir s'il existe une formule semblable lorsque et plus généralement .
Et si une telle formule existe, peux-t-on éviter de long et "dangeureux" calculs ?

Ben en général, le développement de f = goh en a, ça va être le développement de h en (a), et le développement de g en h(a).

Exemple :
DL en 0 de ln(cos(x))

cos(x) en 0 = 1 - x^2/2 + ...
ln(x) en 1 (cos(0)) = (x-1) + 1/2(x-1)^2 + ...

Tu remplaces le 'x' de ln(x) par le développement de cos(x) en 0, et

ln(cos(x)) en 0 = -x^2/2 - x^4/12 + ...


Remarque : les calculs en général sont pas très longs, ni très dangereux, puisqu'en général on s'arrête à des ordres assez bas.