Polynome

par **zelda007** » 10 Fév 2008, 14:57

Bonjour,

On me demande de calculer de deux manières différentes :

P = [X^n(1 + X)^n]^(n)

Donc en fait la dérivée nième du polynome [X^n(1 + X)^n]

J'ai essayé de developper le crochet avec le binome de Newton mais ca donne rien. Par la formule de Taylor, je ne vois pas comment faire...

Pouvez vous me donner un début ?

Merci à vous

par **rafbh** » 10 Fév 2008, 15:06

Bonjour

utilise Leibniz.

et puis c 'est facile détablir la dérivée kiem de (x+a)^n.

essaye et jtaide si tu coinces...

par **zelda007** » 10 Fév 2008, 15:39

Ah oui je suis bete !

Donc je trouve :

somme(k parmi n).(n!/k!).X^k.[n!/(n - k)!].X^n-k

En appliquant que :

[X^n]^(n-k) = (n! / k!).X^k
([1 + X]^n)^(k) = (n! / (n - k)!).X^k

Mais après je ne sais pas quoi faire...

par **rafbh** » 10 Fév 2008, 15:44

après tu remplaces dans la formule de leibniz

Ou est le prob??

par **zelda007** » 10 Fév 2008, 15:47

Bah c'est déjà remplacé dans la formule de Leibniz !

J'obient un truc bizarre et je vois pas comment conclure

J'obtient ca :
somme(k parmi n).(n!/k!).X^k.[n!/(n - k)!].X^n-k

= somme(k parmi n).X^n[ (n!)² / (k!(n - k)!)]

Et après ? lol

par **rafbh** » 10 Fév 2008, 15:50

Et ben c tout
c'est le résultat tant convoité.
Pourquoi tu veux conclure?
A moins qu'il te demande autre chose??

par **zelda007** » 10 Fév 2008, 15:54

Lol parce que c'est une expression un peu grosse et je pensais qu'on pouvais la simplifier encore un peu...

Sinon on me demande de retrouver ce résultat avec une autre méthode, une idée ? ca permettra en plus de vérifier momn premier résultat :ptdr:

par **rafbh** » 10 Fév 2008, 15:57

x+x² peut etre
Jai vérifié le resultat et il est juste crois moi!!!

par **zelda007** » 10 Fév 2008, 16:02

x + x² ?
Oui je t e crois :)

par **rafbh** » 10 Fév 2008, 16:07

etablis par récurrence la dérivée nieme de (x+x²)^n.

derivée 1 de (x+x²)

2 de (x+x²)^2

.
.
.
.

t'arrives a dérivée nième de (x+x²)^n

Compris mon ptit Zelda???

par **zelda007** » 10 Fév 2008, 16:10

Non j'ai rien compris et je ne vois pas le rapport avec l'exo ! D'ou sort ce (X+X²)^n ?

par **rafbh** » 10 Fév 2008, 16:14

X^n(1 + X)^n=(X+X²)^n non?

par **zelda007** » 10 Fév 2008, 16:21

non car (A^n) x (b^n) n'est pas égal à (ab)^n

par **rafbh** » 10 Fév 2008, 16:23

Ben si!!!!

par **rafbh** » 10 Fév 2008, 16:24

pour etre sur essaye avec des nombres 2²*3² et (2*3)² =36

par **zelda007** » 10 Fév 2008, 16:26

Ah ok lol donc en fait la seconde méthode consisterais à calculer la dérivée nieme de : (X + X²) ! Mais meme par reccurence, je ne vois pas comment faire...

De toute manière au bout de 3 dérivée elle devient nulle !

par **rafbh** » 10 Fév 2008, 16:28

Ben tu fais la premiere et 2em dérivée tu devines la forme tu supposes pour n et tu démontres pour n+1..
rien dplus simple

par **zelda007** » 10 Fév 2008, 16:36

Exact et on trouve une relation du genre :

[(X + X²)^n]^(n) = n.(1 + 2X)(X + X²)^(n-1)

Reste a savoir si c'est égal à l'autre montre trouvé précédemment ^^

par **rafbh** » 10 Fév 2008, 16:37

c'est faux!!

par **zelda007** » 10 Fév 2008, 16:42

rafbh a écrit:c'est faux!!

Oui exact je viens de m'en rendre compte. Mais il est impossible de trouver une relation puisque ca change tout le temps ainsi que le nombre de dérivéeS.

La je sèche, un coup de main

merci

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