Polynome

[fenecman]

:party: ,bonne année tout le monde .
Voilà un petit exercice ou je bloque :
On demande de trouver les polynomes P dans C[X] tels que
P(X^2)=P(X)P(X+1)
Merci

[aviateurpilot]

pour les plynome constante: et sont les seule solution,
si alors il admet un nbr fini de racines

donc ==> .....
donc (tu px utiliser la recurrence)
admet un nbr fini de racines ==>
==> ou bien ==> ou
et on a aussi
donc de meme on montre que ou ==> ou
donne
donc
et donne
donc

[tize]

Bonjour,
Première remarque :
si est une racine alors et sont aussi des racines.
D'accord avec le début d'aviateurpilot les racines doivent être 0; 1 ou seulement si est une racine alors est une racine et alors est une racine mais donc les seules racines sont 0 et 1 et les polynômes doivent être de la forme et l'équation implique et

[tize]

Bonjour,
Première remarque :
si est une racine alors et sont aussi des racines.
D'accord avec le début d'aviateurpilot les racines doivent être 0; 1 ou seulement si est une racine alors est une racine et alors est une racine mais donc les seules racines sont 0 et 1 et les polynômes doivent être de la forme et l'équation implique et , non ?

[busard_des_roseaux]

bjr,

P est scindé sur

zut, je suis en retard :doh:

[fenecman]

Merci bien,
Je sais pas pourquoi mais j'essayais de montrer que seul le polynome nul était solution :marteau:

[busard_des_roseaux]

(tu px utiliser la recurrence)
admet un nbr fini de racines ==>

aviateurpilot, pourrais-tu préciser ce point de ta démonstration:

est aussi racine.

Pourquoi est-elle nécésairement de la forme:

?

merçi de préciser ce point.

Pour moi, ta démo prouve que les applications:
et


induisent des permutations des racines.

[aviateurpilot]

aviateurpilot, pourrais-tu préciser ce point de ta démonstration:

est aussi racine.

Pourquoi est-elle nécésairement de la forme:

?

soit et soit
on a alors on peux construie une suite dans pour avec et
on a evidement
et on donc (avec fini)
alors forcement sinon sera infini

[fenecman]

Par contre en regardant de plus prêt, je me suis demandé pourquoi on ne pouvait pas avoir -1 comme racine car (-1)^2^n vaut soit 1 ou -1?

[busard_des_roseaux]

je remonte le fil pour demander un complèment de démonstration,:zen:
ce qui a été écrit me semble pas limpide.

[fenecman]

A non en fait , si -1 est racine alors (-1-1)^2 serait racine ce qui est impossible.
dsl

[tize]

Bien je vais tacher d'être clair :
si est une racine alors et sont aussi des racines (facile à voir avec l'équation).
Ensuite si 0 ou 1 alors on a une infinité de racines (impossible si dont on a oublié de parler).
Donc ou alors et ce qui implique dans le dernier cas que mais ces dernières possibilités ne marchent pas comme je l'ai expliqué plus haut car sinon serait une solution de module différent de 1 !
Les seules racines sont donc 0 et 1

[aviateurpilot]

je remonte le fil pour demander un complèment de démonstration,:zen:
ce qui a été écrit me semble pas limpide.

hhhhhhh, donc voila les etape de ma solution,

j'ai pris une racine de
j'ai trouvé des condition nécessaire
,
donc les seules condidact sont
d'ou est nécessairement de la forme

maintement pour j'ai montrer que l'ensemble des solution est inclu dans
il faut seuelemnt remplacer cette formule dans la relation
ce qui donne c=0 ==> plynm nul
c=1, h=k=n=m=0 ==> plynm contant 1
ou bien
donc 2h=h+k ==> h=k
n=m=0
( j'ai utilisé le fait que X,X-1,X-exp.... pemier entre eux deux a deux)

[tize]

Bonjour aviateur :we: , tu as donc modifié ton premier post...

[busard_des_roseaux]

La démo d'aviateurpilot me semble très ingénieuse sur le fond, je souhaitais préciser un point de détail:

la suite des racines est finie.
La suite de leur modules aussi.
donc si a est racine ,
est une suite finie, ce qui implique
|a|=0 ou |a|=1, je suis bien d'accord.


mais à priori, ça se passe pas comme dans un groupe cyclique et je ne voyais pourquoi, on retombe forcément sur du en considérant les racines, on pourrait obtenir une autre racine.

[aviateurpilot]

Bonjour aviateur :we: , tu as donc modifié ton premier post...

oui tize, j'avai fait une faute de calcul a la fin, et j'ai meme pas fait la verification, mais apes avoir refait la demo, j'ai trouver que seuele 0 et 1 rest, c'ete grace a toi k j'ai vu la faute de calcule. j'ai voluais signalé cela, mais j'ete entrain d praler du mon resonnement avec busard_des_roseaux.
l'imprtant c'est k la demo est logique, et j'ai remarqué que fenecman quand il a dit

Par contre en regardant de plus prêt, je me suis demandé pourquoi on ne pouvait pas avoir -1 comme racine car (-1)^2^n vaut soit 1 ou -1?

il croi que j'ai fait des condition necessaire sur les racines.
le fait que y^{2^n}=1 n'implique pas que y est une racine, on a just l'aute implication

[Anonyme]

s'il vous plait, si quelqu'un peut m'aider sur ce problème
On me demande de factoriser dans C et R le polynôme suivant

P=X^4+X^3+X^2+X+1

[ThSQ]

s'il vous plait, si quelqu'un peut m'aider sur ce problème
On me demande de factoriser dans C et R le polynôme suivant

P=X^4+X^3+X^2+X+1

Racines 5ème de l'unité ...

[Anonyme]

Merci pour la reponse faut dire que jme doutais bien qu'il yavait une relation avec les racines nième de lunité mais je ne sais pour quelle raison j'ai bloqué sur les racines 4èmes pas les racines 5èmes. arf

[BCPST1B]

besoin d'aide pour une etude de fonction de classe prepa veto!! qqun peut il m aider!! la voici
(2x+1)/(x^2+1) +2arctan((1-x)/(1+x))
je blok sur la devrivée, ausecours!!!!!!