Polynôme

[Scorpios]

Bonjour, je me permets de vous solliciter pour vous demandez une aide sur un exo de maths sur les polynômes. Voici l'énoncé;

Soit P= (X+i)^7+ (X−i)^7.
1.Montrer que 0 est racine de P. Montrer qu’il existe 6 autres racines réelles distinctes.
2.Justifer que P est un polynôme de R7[X].
3.Calculer la somme et le produit de ses racines.


1. Montrer que 0 est racine ça va bien sûr. En revanche, montrer qu'il existe 6 autres racines réelles distinctes, je ne vois pas...
2) Je ne sais pas, peut-être montrer qu'il est bien de degré 7? J'ai appliqué la formule du binôme de Newton pour trouver: P= 2X^7 - 42X^5 + 70X^3
3) J'applique les 2 formules si je les connais toutes.

Voilà, merci d'avance pour toute aide

[Ben314]

Salut,
1. (toutes) les racines du polynômes sont faciles à obtenir.
La "mini astuce", si on peut dire, c'est décrire que :

Sachant que les équations de la forme sont plus que classique à résoudre (dans ).

2. Ton polynôme P est faux : il y a (clairement) aussi des termes en X dans P.

3. Je comprend rien à ce que tu raconte : de quelles "formules" parle-tu ? Et c'est si tu connaît tout les quoi ?
De plus, concernant la question elle même, si elle est effectivement formulée de cette façon, y'a la moitié de la réponse qui est totalement triviale. Et l'autre moitié, tu obtient le résultat simplement en utilisant les liens bien connus qu'il y a entre les coefficients d'un polynômes et les racines dudit polynôme. (lien qu'on retrouve tout bêtement en développant la forme factorisée du polynôme)

[Scorpios]

Merci pour ta réponse Ben.
Ok c'est bon pour la question 1.
Oui, j'ai donc P= 2X^7 - 42X^5 + 70 X^3 -14X. Mais donc comment démontrer rigoureusement qu'il s'agit effectivement d'un polynôme?
3) Oui, je parlais des formules faisant intervenir les coefficients et les racines, donc:
-(b/a) la somme de toutes les racines
(-1)^n * (k/a) le produit de toutes les racines
avec n le degré du polynôme, b le coefficient du monôme de degré n-1, a le coefficient du monôme de degré n, et k le terme constant

[hdci]

Oui, j'ai donc P= 2X^7 - 42X^5 + 70 X^3 -14X. Mais donc comment démontrer rigoureusement qu'il s'agit effectivement d'un polynôme?

Il faut revenir à la définition : c'est quoi un polynôme ?

[Ben314]

j'ai donc P= 2X^7 - 42X^5 + 70 X^3 -14X. Mais donc comment démontrer rigoureusement qu'il s'agit effectivement d'un polynôme?

Tu as pas un tout petit peu l'impression que c'est un tout petit peu con comme question ? (Si on te demandais comment on fait pour montrer que 2018 est un nombre entier, tu répondrait quoi ?)
Sinon, cette fois ton polynôme est correct. A la limite, on pourrait trouver des arguments théorique (i.e. sans tout développer) pour montrer que P est bien un polynôme à coeff. réel, mais vu que c'est pas super long de tout développer, autant le faire comme ça.

Pour le 3), c'est O.K., mais la question "combien vaut le produit des racines" est on ne peut plus couillonne vu qu'à la question 1), on a montré que 0 est racine et y'a évidement besoin de rien d'autre pour en déduire que le produit des racines est nul !
Pour la somme, c'est O.K. (et elle vaut donc elle aussi 0).

[pascal16]

2) version bête :

P= (X+i)^7+ (X−i)^7.
P est somme de deux polynômes (mis sous forme factorisée) est donc un polynôme.
chacun des deux termes est de degré 7, P est au plus de degré 7.
P= 2X^7+ des termes de degré strictement inférieur à 7, est donc de degré 7.

2) version en suiavnt l'énoncé
P est somme de deux polynômes (mis sous forme factorisée) est donc un polynôme.
chacun des deux termes est de degré 7, P est au plus de degré 7.
d'après 1) 0 est racine de P et il existe 6 autres racines réelles distinctes.
P= 2 X somme (X-Xi) (un reste polynomial) où Xi sont 6 racines rélles non nulles et distinctes
P est de degré au moins 7

(au passage, on a que P vaut exactement P= 2 X somme (X-Xi) ).

3)
en utilisant P= 2 X somme (X-Xi) et la forme développé, tu as la somme et le produit des racines en 2 secondes

[Lostounet]

A la limite, on pourrait trouver des arguments théorique (i.e. sans tout développer) pour montrer que P est bien un polynôme à coeff. réel, mais vu que c'est pas super long de tout développer, autant le faire comme ça..

Comme quoi Ben?
Je ne me souviens plus trop je crois.

[Ben314]

Comme quoi Ben?

Ben c'est un polynôme (à priori à coeff complexe) parce que... c'est évident.
Et il est en fait à coeff. réel car, pour tout complexe , on a (se vérifie sans rien développer mais uniquement avec les propriétés connues de la conjugaison).

[Lostounet]

Ah oui mais bien sûr.

J'étais allé revoir un peu des résultats sur les corps de décomposition :p

[Scorpios]

Merci à vous pour vos réponses. Oui, je pensais utiliser la définition du polynôme, en notant P le polynôme de R7[X] tel que P= somme de k=0 à 7 des AkX^k, et ensuite discuter du degré (et éventuellement du coefficient dominant du polynôme en question de l'exercice), comme l'a justement fait pascal .

j'ai donc P= 2X^7 - 42X^5 + 70 X^3 -14X. Mais donc comment démontrer rigoureusement qu'il s'agit effectivement d'un polynôme?

Tu as pas un tout petit peu l'impression que c'est un tout petit peu con comme question ? (Si on te demandais comment on fait pour montrer que 2018 est un nombre entier, tu répondrait quoi ?)

Evidemment qu'on le sait que c'est un polynôme !!!!! Mais à une question d'oral des Arts et Métiers, posée aux prépas PSI, je doute que l'on puisse se contenter d'une réponse lacunaire disant que cela se voit ...
Une preuve constructive comme celle qu'a proposée Pascal est à mon humble avis largement et pleinement attendue ...
Ce forum est dédié à l'entraide ...
Autant l'utiliser pour des remarques constructives plutôt que pour des jugements de valeur sur les questions posées !
Merci à tous pour votre aide

[Ben314]

Vu que tu semble ne pas avoir confiance en ce que je raconte, demande à n'importe qui (prof. ou pas) quel est l'opinion qu'il se ferait d'un étudiant qui à un oral écrit au tableau que P=2X^7 - 42X^5 + 70 X^3 -14X puis qui dirait à l'oral "on va maintenant montrer que P est un polynôme à coefficient réel".

Et "une preuve comme celle de pascal" peut effectivement être proposée, à condition bien évidement de ne pas avoir précédemment développé P et obtenu directement que P=2X^7 - 42X^5 + 70 X^3 -14X !!!!

Mais bon, tu fait comme tu veut : la note c'est à toi qu'on la mettra...

[aviateur]

Bonjour @scorpios
Sauf erreur de ma part la question vraiment un peu "difficile" est la première.
Or tu dis

Ok c'est bon pour la question 1.

Mais excepté l'indication que l'on t'a donné (A^7+B^7=0...) je ne vois pas la réponse.
Tu ne pourrais donner ta réponse s'il te plait? Car on reste sur sa faim tout de même.

[LB2]

Bonjour, je me permets de vous solliciter pour vous demandez une aide sur un exo de maths sur les polynômes. Voici l'énoncé;

Soit P= (X+i)^7+ (X−i)^7.
1.Montrer que 0 est racine de P. Montrer qu’il existe 6 autres racines réelles distinctes.
2.Justifer que P est un polynôme de R7[X].
3.Calculer la somme et le produit de ses racines.


1. Montrer que 0 est racine ça va bien sûr. En revanche, montrer qu'il existe 6 autres racines réelles distinctes, je ne vois pas...
2) Je ne sais pas, peut-être montrer qu'il est bien de degré 7? J'ai appliqué la formule du binôme de Newton pour trouver: P= 2X^7 - 42X^5 + 70X^3
3) J'applique les 2 formules si je les connais toutes.

Voilà, merci d'avance pour toute aide

Bonsoir scorpios,

il me semble, comme Ben, que tu as une compréhension très approximative de l'exercice.
1) On sait résoudre l'équation P(z)=0 dans C, car on connait les racines 7èmes de l'unité, et on pose Z=(z+i)/(z-i) : on trouve des solutions exprimées comme des cotangentes.
2) Ce polynôme est évidemment un polynôme (sic) et de degré 7: la question est de montrer qu'il est à coefficients réels et non complexes comme son écriture le laisserait supposer a priori.

Mais en fait, il est à coefficients réels, tu peux invoquer l'un des trois arguments suivants :
- il admet 7 racines réelles distinctes, donc il est scindé à racines simples dans R[X], donc à coefficients réels
- P(conjugué de z)=conjugué(P(z))
- développer par le binôme de Newton comme tu l'as fait (mais c'est plus long)

3) Pour obtenir somme et produit des racines,
- pour le produit c'est trivial puisque 0 est racine

- pour la somme, soit tu utilises l'expression développée en calculant juste le coefficient en X^6 et en utilisant les relations coefficients racines, soit tu regroupes les cotangentes entre elles par symétrie (cotan(pi-x)+cotan(x)=0)

Cordialement

[aviateur]

Bonjour
Malgré tout, ne pas oublier de dire que le coefficient dominant est réel.

- il admet 7 racines réelles distinctes, donc il est scindé à racines simples dans R[X], donc à coefficients réels

Vu que c'est un exercice d'oral, je préfèrerai faire court:
-On voit que P est un polynôme de degré 7, a priori à coefficients complexes, impair, de coefficient dominant 2. Donc on en déduit de suite que zéro est racine et aussi que la somme et le produit des racines sont nulles.
- Il est bien connu que l'application (U= cercle unité) définie par est une bijection. Alors blablabla.. (utiliser la remarque de @ben) ... donc les racines de P sont les images réciproques des 7 nombres complexes solution de . On en déduit alors que P a 7 racines distinctes réelles.
- Pour répondre à la question 2 cf @LB2

[Pseuda]

Bonjour,

Une autre solution, question 1), les autres sont faciles. On montre facilement que est à coefficients réels (car ), déjà fait.

Ensuite on calcule facilement les polynômes dérivés successifs de (sans développer ).
On part de , qui a une seule racine réelle .
On dresse le tableau de variation de .
On a : et polynôme pair. Donc a 2 racines réelles opposées.
On dresse le tableau de variation de .
Compte tenu du tableau de variation de impair, a 3 racines réelles distinctes, et 2 racines réelles opposées.
etc...

Compte tenu de la parité des polynômes et des tableaux de variations successifs, on doit (je n'ai pas fait jusqu'au bout) arriver au résultat. C'est plus long que la démonstration précédente (celle d'@aviateur).

[Pseuda]

On doit pouvoir généraliser ce résultat (il me semble que c'est un exercice classique) : est à coefficients réels, il est pair ou impair selon la parité de , et a racines réelles distinctes.

[aviateur]

Oui, c'est clair qu'avec le changement de variable remplacer 7 par n ne change rien à l'exercice (excepté que zéro n'est pas racine dans le cas n pair.

[LB2]

On doit pouvoir généraliser ce résultat (il me semble que c'est un exercice classique) : est à coefficients réels, il est pair ou impair selon la parité de , et a racines réelles distinctes.

Oui tout à fait. On peut calculer la somme à partir de ce résultat, avec le polynôme (cf sujet e3a 2016 maths 2 PSI, par exemple)

[Pseuda]

Oui tout à fait. On peut calculer la somme à partir de ce résultat, avec le polynôme (cf sujet e3a 2016 maths 2 PSI, par exemple)

C'est un "-" à la place d'un "+", mais on doit pouvoir en tirer de beaux résultats !

[Pseuda]

Vu que c'est un exercice d'oral, je préfèrerai faire court:
-On voit que P est un polynôme de degré 7, a priori à coefficients complexes, impair, de coefficient dominant 2. Donc on en déduit de suite que zéro est racine et aussi que la somme et le produit des racines sont nulles.
- Il est bien connu que l'application (U= cercle unité) définie par est une bijection. Alors blablabla.. (utiliser la remarque de @ben) ... donc les racines de P sont les images réciproques des 7 nombres complexes solution de . On en déduit alors que P a 7 racines distinctes réelles.
- Pour répondre à la question 2 cf @LB2

Bonsoir,

En déroulant ta démonstration, il me semble qu'il faut encore montrer que est bien une bijection de . En effet,cela ne me semble pas archi-connu, en tout cas, je ne connaissais pas.