Polynome

[ort67]

Bonjour,

je dois prouver que B divise A avec
A=X^(3n+2)+X^(3m+1)+X^3p
B=X²+X+1
pour cela je pense qu'il faut que je prouve que le reste de la divition est nulle mais comment faire! :mur:
Merci d'avance

[raph107]

Bonjour,

je dois prouver que B divise A avec
A=X^(3n+2)+X^(3m+1)+X^3p
B=X²+X+1
pour cela je pense qu'il faut que je prouve que le reste de la divition est nulle mais comment faire! :mur:
Merci d'avance

Tu factorise B dans le corps des complexes C, tu démontres que chacun des facteurs divise A et comme ils sont premiers entre eux, leur produit B divise A.

Tu remarqueras que les zéros de B sont des racines cubiques de 1 donc leur cube vaut 1.

Tu essaies comme ça et si tu trouves des difficultés, tu reviens.

[ort67]

Bonjour,

J'ai trouvé comme racine pour B:
x1=e^(-i(2pi/3)) et x2=e^i(2pi/3)
j'ai essayé de remplacer x dans a par X1 mais je ne trouve pas 0???

Merci

[adrien69]

Pour moi la méthode de Raph107 n'aboutira pas. Tu ne te retrouveras qu'avec une divisibilité dans C[X].
Personnellement j'ai un truc en trois lignes qui marche nickel.

Tu regardes le reste de X³ dans la division par X²+X+1, tu le passes à la puissance n, m, p, tu multiplies par X², X et 1 respectivement, tu sommes et ça marche du tonnerre.

[ort67]

Le reste de X³ par X²+X+1 est -X²-X. après j'ai pas trop bien compris....

[chan79]

Tu factorise B dans le corps des complexes C, tu démontres que chacun des facteurs divise A et comme ils sont premiers entre eux, leur produit B divise A.

Tu remarqueras que les zéros de B sont des racines cubiques de 1 donc leur cube vaut 1.

Tu essaies comme ça et si tu trouves des difficultés, tu reviens.

salut
si x annulle B alors x³=1
et
donc A=0

[chan79]

salut
si x annulle B alors x³=1
et
donc A=0

[ort67]

je ne comprends pas d'où vient x³????

[adrien69]

Le reste de X³ par X²+X+1 est -X²-X. après j'ai pas trop bien compris....

Y a plus simple comme expression du reste quand même... Y a 1 par exemple.

[adrien69]

je ne comprends pas d'où vient x³????

On a (X-1)(X²+X+1)=X³-1
Donc si a est une racine différente de 1 de (X-1)(X²+X+1) (c'est-à-dire une racine de (X²+X+1) ), on a a³-1=0 Soit encore a³=1.

[ort67]

je dois prouver que B divise A avec
A=X^(3n+2)+X^(3m+1)+X^3p
B=X²+X+1

[adrien69]

je dois prouver que B divise A avec
A=X^(3n+2)+X^(3m+1)+X^3p
B=X²+X+1

On sait ça. Et on t'a donné deux méthodes. Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

[ort67]

je ne comprend pas le lien qui existe entre X³-1 et l'énoncé!

[adrien69]

On a le voilà ton lien.

[raph107]

[quote="adrien69"]Pour moi la méthode de Raph107 n'aboutira pas. Tu ne te retrouveras qu'avec une divisibilité dans C[X].

Si B divise A dans C alors il existe Q dans C[X] tq A = BQ comme A et B sont dans R[X], Q appartient à R[X]. Si c'est pas évident on peut le voir en évaluant arg(Q) en utilisant l'égalité A = BQ.

Je concède que la méthode est un peu longue mais elle marche.

[ort67]

on peut mettre X^3 en facteur?

[raph107]

on peut mettre X^3 en facteur?

Tu écris chacun des termes de A comme une puissance de x^3 fois un une puissance de x:
X^(3n+2) = (x^3)^n*x²
X^(3m+1) = (x^3)^m*x
X^3p = (x^3)^m

Si on appelle x1 et x2 les racines de B on a: x1^3 = x2^3 = 1, donc
A(x1) = x1² + x1 + 1 = 0 et A(x2) = 0, .....

Donc (X-x1) divise A, ....

[adrien69]

Et avec ma méthode,

Donc , ,
On somme les trois relations :


CQFD.

@Raph : Je n'avais pas eu le courage d'aller jusqu'au bout de ta méthode (je suis un peu fainéant) désolé

[ort67]

Tu écris chacun des termes de A comme une puissance de x^3 fois un une puissance de x:
X^(3n+2) = (x^3)^n*x²
X^(3m+1) = (x^3)^m*x
X^3p = (x^3)^m

Si on appelle x1 et x2 les racines de B on a: x1^3 = x2^3 = 1, donc
A(x1) = x1² + x1 + 1 = 0 et A(x2) = 0, .....

Donc (X-x1) divise A, ....

la seule chose que je ne comprend pas est x1^3=x2^3=1

[raph107]

la seule chose que je ne comprend pas est x1^3=x2^3=1

Tu as trouvé x1=e^(-i(2pi/3)) donc x1^3 = e^(-i(2pi)) = cos(-2pi) + isinus(-2pi) = 1

Ramarque:
La méthode que t'a proposée adrien69 est beaucoup plus simple en ecrivant:
x^3 = (x²+x+1)(x-1) + 1