Polynome

[xxdebgxx]

bonjour, j’ai un exo en math que je n'arrive pas a resoudre :mur: :
1. Calculer les racines du polynôme P(X) = X2 + X + 1.
2. Le polynôme P est il un diviseur de (X^8 + 1)^8 ? X^8 ?
3. Le polynôme P est il un diviseur de (X^5 + 1)^5 ? X^5 ?
j’ai fais la 1er question, j’ai trouver -1/2+i racine3/2 et -1/2-i racine3/2
on ma dit que pour trouver la reponse aux question 2 et 3 il fallait remplacer X par les racine et trouver 0 mais je n’arrive pas a simplifier les calcules. merci par avance.

[girdav]

Ecris les racines sous forme exponentielle.

[xxdebgxx]

merci mais j'arrive toujours pas a simplifier (X^8+1)^8 =/

[Doraki]

Il ne s'agit pas de calculer les racines de (X^8 + 1)^8 (ce qui est presque dur), mais de regarder si les racines de X²+X+1, que l'on connaît, sont des racines de (X^8 + 1)^8 ou non.

Donc tu prends (-1/2 + iracine(3)/2), tu élèves au carré 3 fois de suite, tu ajoutes 1, tu élèves au carré encore 3 fois de suite, et tu regardes si ça fait 0 ou non.

[xxdebgxx]

j'ai compris, merci beaucoup, je l'ai fait et sa marche mais c'est long!!
du coup pour la puissance 5 je fais comment?

[Doraki]

C'est long mais c'est que du calcul donc quand on a pas d'idée c'est toujours quelquechose que tu sauras faire.
Maintenant avec un peu de raisonnement tu peux simplifier les calculs.

tu aurais du remarquer pendant tes calculs, en notant x = -1/2 + isqrt3 /2, que x^8 = x², et aussi que ça servait à rien de mettre (x^8+1) à la puissance 8 parceque truc^8 est nul si et seulement si truc était nul.

Et si x^8 = x^2, c'est parceque x^6 = 1, et en fait parceque x^3 = 1.
Du coup pour X^5 et (X^5+1), tu peux un peu simplifier.

[xxdebgxx]

alors j'ai demander a mon prof il m'a dit de mettre les racines sous formes complexes mais j'y arrive toujours pas pour la 3e question. aidez moi svp :cry: