Polynôme strictement positif

[Nightmare]

Salut à tous !

Résultat amusant :

Soit P un polynôme réel strictement positif sur . Montrer qu'on peut trouver un certain entier k tel que soit à coefs strictement positifs.

Je vous laisse chercher la preuve assez facile.

:happy3:

[Joker62]

Haileau

On note les racines de P dont les r premières sont réelles et les autres dans C.

On écrit et on note les racines qui sont en fait la réunion des racines de P et de (X+1)^k. Donc certaines peuvent être égale. Le fait que ce soit un polynôme réel nous assure qu'on en a un nombre pair

les formules de Newton donne :



Pour i<=r
Si i est pair :
a_i est la somme d'un produit pair de nombre négatif et donc a_i est positif

Si i est impaire, l'apparition du signe moins nous sauve la mise et on a toujours a_i positif.

Maintenant il reste à traiter le cas des racines complexes.
Elles sont conjugées deux à deux ( d'où le fait qu'elles sont en nombre pair )

et j'imagine qu'on peut faire pareil en regroupant correctement les racines.
Mais j'ai quand même un doute sur cette dernière étape :p

Enfin j'imagine que c'est ici qu'intervient le k assez grand

[Nightmare]

Yo !

Ok pour le début, je ne te garanti pas que ça marche dans le cas complexe... En fait, l'exercice n'est plus trop difficile lorsqu'on a vu qu'il suffisait de le montrer pour P irréductible, et les polynômes irréductibles sur R on les connait bien :lol3:

[Joker62]

je pense comme toi que ça ne marche plus pour les complexes.
Je réfléchirai au problème de l'irréductibilité en rentrant.

[Joker62]

So ;) Désolé j'suis allez voir le dernier Scorsese :)

En supposant P unitaire, on considère sa décomposition en facteur irréductible
P = P1P2...Pr

Les racines de P sont donc parmis celles des P_i

En supposant le résultat vrai pour les irréductibles,
On aurait qu'il existe K1 tel que (X+1)^k1 . P1 ait des coefficients positifs.

On fait la même chose avec les autres
et on somme les k_i
Un produit de polynôme à coefficient positifs à ses coefficients positifs donc on peut se réduire au cas où P est irréductible.

X+a ; X^2 + bX + c avec b^2 - 4c < 0

maintenant, on peut utiliser le fait que les coefficient d'un polynôme s'écrit en fonction des dérivées de ce polynôme (formule de Taylor) et on conclût avec ça + formule de dérivation de Leibniz qui se simplifie pas mal car on a des polynôme de degré 1 et 2.

[Ben314]

Surtout que, pour les polynômes X+a de degré 1, comme par hypothèse P ne s'anule pas sur R+, on a a>0 et pour rendre les coeffs positifs, y'a pas trop de boulot.
Pour ceux de second degrés, perso, j'ai "bètement" multiplié X²+aX+b par (X+1)^k (qui se développe avec le binôme de newton) est constaté que, pour k assez grand, les coeffs sont bien tous positifs.

[Joker62]

Ah oui, pour le cas des polynômes de degré 1 c'était plus simple lol :)