Polynôme du second degré - ensemble de solutions

[asinoda]

Bonjour, je cherche à savoir comment trouver l'ensemble des solutions de l'équation x²-5632x+1133407=0, auriez vous une méthode que je puisse appliquer à d'autres équations de ce type ? Les quatres réponses qui me sont proposées dans le manuel sont:
A [209, -5423]
B [209, -5422]
C [209, 5422]
D [209, 5423]
En théorie, je devrais pouvoir le résoudre sans l'aide de la calculatrice.
Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Au départ, le mini à savoir sur les polynôme du second de degré, c'est l'apparence de leur courbe (une parabole).
Et l'autre truc à bien comprendre, c'est que dans un QCM où tu sait qu'il y a une et une seule bonne réponse, le plus rapide est très souvent de procéder par élimination.

Là, par exemple, le fait que le coefficient en x², c'est à dire 1, est positif signifie que la parabole est "tournée vers le haut" ce qui signifie que, si le polynôme admet deux racines alors il est négatif entre les deux racines et positif ailleurs.
Et comme la valeur en x=0 est 1133407 qui est positif, c'est que 0 n'est pas entre les deux racines : elles sont donc toute les deux de même signe ce qui élimine les cas A) et B).
Ensuite, vu la tête des deux cas restant, le plus rapide est un simple argument de parité :
- Soit en disant que, si x est un entier pair alors x² et 5632x sont pairs et, comme 1133407 est impair, la somme des trois est impaire donc surement pas nulle => il ne peut pas y avoir de racine entière paire.
- Soit en disant que la somme des racines est -b/a = 5632 qui est pair donc, si les racines sont entières, elles sont de même parité (pour que la somme soit paire).
- Soit en disant que le produit des racines est c/a = 1133407 qui est impair donc, si les racines sont entières, elles sont toutes les deux impaires (seule façon d'avoir un produit impair).
Dans les trois cas, ça élimine la solution C) et il ne reste que la D)

[catamat]

Bonjour

Pour moi, dans ce cas, l'utilisation de la somme suffit
-b/a=5632
209+5423=5632
donc c'est D

mais bien sûr les conseils de Ben314 te seront très utiles pour des questions de ce type.
autres possibilités suivant le signe du produit P(c/a) et de la somme S(-b/a) des racines
Si P>0 et S>0, les racines sont positives
Si P>0 et S<0, les racines sont négatives
Si P<0 et S>0, les racines sont de signe contraire, la positive ayant une plus grande valeur absolue que la négative
Si P<0 et S<0, les racines sont de signe contraire, la négative ayant une plus grande valeur absolue que la positive
P>0 et S>0, les racines sont positives