Polynôme passant par trop de points (une infinité)

[acteon]

Bonjour,
je me demandais comment montrer qu'il était "impossible" de construire un polynôme passant par une infinité de points.
On connaît bien les polynômes d'interpolation de Lagrange, si on se donne x0,..,xn et y0,...yn, on obtient qu'il existe un seul polynôme de degré au plus n tel que P(xk)=P(yk) pour tout k entre 0 et n.
Si on donne une infinité de points on se dit que ça ne marche plus bien sûr . Enfin ce n'est pas toujours impossible si on pose exprès tous les yk (k>=n+1) tels que P(xk)=yk (le polynôme P étant celui obtenu ci-dessus, par interpolation à n fixé). Sans cette triche on se dit que ça ne marche pas.
Mais alors par exemple comment montrer qu'il n'existe pas de polynôme tel que P(2^k)=1/2^k pour tout k dans N?
merci à ceux qui pourront m'aider!

[Ben314]

Salut,
Pour la question précise que tu pose, à savoir de montrer qu'il n'existe pas de polynôme tel que pour tout , la réponse est immédiate : ça ne peut pas être un polynôme non constant vu que ces dernier tendent vers lorsque la variable tend vers l'infini et ce n'est pas non plus un polynôme constant.
Je pense qu'en général, lorsque tu as une infinité de valeurs connues, il faut regarder un point d'accumulation de ces valeurs (dans ton exemple, le point d'accumulation, c'est évidement ).

[acteon]

Bonsoir et merci pour ta réponse, pour le cas particulier (bien sûr!) et pour l'idée générale, j'y réfléchirai