Polynôme et nombres complexes

[hsina]

Bonsoir à tous
j'essaye depuis plusieurs heures de résoudre cette question, et je n'y arrive toujours pas...
-on considère dans toute cette partie n nombres complexes a0,...,an-1 et la fonction polynôme P définie par P(z)= Somme (k=0 à n-1) de ak*z^k)
Montrer que: 1/n * Somme (k=0 à n-1) (module²(P((e^2kpi)/n)) = Somme (j=0 à n-1) (module²(aj)
Ce qui m'intrigue c'est qu'il n y a pas de i donc je ne peux pas utiliser les propriétés des complexes, j'ai donc vu le module de P au carré comme P fois son conjugué,mais je n'aboutis à rien...
Merci pour votre aide

[busard_des_roseaux]

bonjour,
on écrit la définition du membre de gauche de l'égalité
en utilisant trois indices entiers j;k;m . Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués




par double distributivité de la multiplication sur l'addition, le produit de deux sommes
est la somme des produits





avec trois sommes, on peut permuter les signes sigma.....tu peux également utiliser les progressions géomètriques (cf L'algèbre discrète de la transformée de Fourier de Gabriel Peyré chez Eyrolles)

[hsina]

bonjour,
on écrit la définition du membre de gauche de l'égalité
en utilisant trois indices entiers j;k;m . Le conjugué d'une somme est la somme des conjugués




par double distributivité de la multiplication sur l'addition, le produit de deux sommes
est la somme des produits





avec trois sommes, on peut permuter les signes sigma.....tu peux également utiliser les progressions géomètriques (cf L'algèbre discrète de la transformée de Fourier de Gabriel Peyré chez Eyrolles)

oui d'où est-ce que tu sors le i ?

[busard_des_roseaux]

la formule à démontrer est encore plus forte, ça marche sans ?, vires-le s'il n'est pas dans l'énoncé.


je ne sais pas s'il y a du ou non (avec ).


En général, on utilise

[hsina]

la formule à démontrer est encore plus forte, ça marche sans ?, vires-le s'il n'est pas dans l'énoncé.


je ne sais pas s'il y a du ou non (avec ).


En général, on utilise

Il n'y a pas de i , et apparemment ce n'est pas une faute de frappe car y a pas de i dans toutes les égalités des questions suivantes... donc du coup je me retrouve avec exp((2j(k+m)*pi)/(n))
le facteur 1/n comment je m'en débarrasse ? comment rendre les deux indices des a égaux ?

[busard_des_roseaux]

i) on somme d'abord sur j les termes de la progression géométrique

ii) il reste à sommer sur un domaine d'indices qui est un carré


dans la somme, on met de côté les termes diagonaux , dont la somme donne le résultat.

[busard_des_roseaux]

--------------------------------------------

[hsina]

si tu ne t'en sors pas, je t'écrirai les calculs.. en tous cas, je trouve le résultat extraordinairement "beau"

Merci beaucoup pour tes pistes de recherche...j'ai fais la somme géométrique avec j, mais je n'arrive pas à simplifier le résultat :/

[busard_des_roseaux]

on a ceci:




dans les deux sommes les plus intérieures, on sépare les éléments diagonaux du reste de la somme, ça donne



on somme sur j

(1)

Par hypothèse, la somme (1) est réelle.


Le domaine d'indices est un carré, privé de la diagonale, dont les deux triangles se correspondent
par la symétrie : (k,m)---->(m,k)

je réfléchis :mur:

[Doraki]

Si tu prends n=2 et P(x) = x, on voit rapidement que ta formule est fausse.

Non seulement tu as mal mis les parenthèses, mais en plus il faut bien un i dans les exposants.
Il faut prendre 1/n * Somme (k=0 à n-1) |P(e^(2ikpi/n))|²

Et cette égalité n'est rien d'autre qu'un avatar du fait que la transformée de Fourier est une isométrie de L².

Si P et Q sont deux polynômes de degré n-1,

Somme des P(;)^k)*Q(;)^-k)
= Somme des (Somme des ai ;)^ki) * (Somme des bj ;)^-kj)
= Somme des aibj ;)^k(i-j)
= Somme des aibj (Somme pour k=0 à n-1 de ;)^k(i-j)).
= Somme des aibj (n si (i-j) est multiple de n, 0 sinon).
= n * Somme des aibi

Tu appliques ça à P et son conjugué, et ça donne l'égalité cherchée.

[busard_des_roseaux]

@hsina: par curiosité, dans quel contexte est donné un énoncé faux , et ce, sur plusieurs questions ?

[hsina]

@hsina: par curiosité, dans quel contexte est donné un énoncé faux , et ce, sur plusieurs questions ?

en effet dans toutes les questions le i n'existe pas dans les exponentielles...après est-ce que le prof a vraiment oublié pour la 1ere et fait copié/collé après, ou bien c'est voulu...

[hsina]

Si tu prends n=2 et P(x) = x, on voit rapidement que ta formule est fausse.

Non seulement tu as mal mis les parenthèses, mais en plus il faut bien un i dans les exposants.
Il faut prendre 1/n * Somme (k=0 à n-1) |P(e^(2ikpi/n))|²

Et cette égalité n'est rien d'autre qu'un avatar du fait que la transformée de Fourier est une isométrie de L².

Si P et Q sont deux polynômes de degré n-1,

Somme des P(;)^k)*Q(;)^-k)
= Somme des (Somme des ai ^ki) * (Somme des bj ^-kj)
= Somme des aibj ^k(i-j)
= Somme des aibj (Somme pour k=0 à n-1 de ^k(i-j)).
= Somme des aibj (n si (i-j) est multiple de n, 0 sinon).
= n * Somme des aibi

Tu appliques ça à P et son conjugué, et ça donne l'égalité cherchée.

je ne comprends pas bien le raisonnement suivi pour passer de 3 sommes à une seule somme

[busard_des_roseaux]

en effet dans toutes les questions le i n'existe pas dans les exponentielles...après est-ce que le prof a vraiment oublié pour la 1ere et fait copié/collé après, ou bien c'est voulu...

c'est ce que je pense, le prof a oublié le () dans la première équation et puis ça s'est propagé par copier-coller.

[busard_des_roseaux]

je ne comprends pas bien le raisonnement suivi pour passer de 3 sommes à une seule somme

bonjour,
je détaille les explications de Doraki

après avoir distribué la multiplication sur l'addition, on trouve






la somme de la progression géométrique d'exposant k, elle vaut 0 , sauf si j=m,dans ce cas elle se calcule directement et vaut

le résultat final est donc

[hsina]

bonjour,
je détaille les explications de Doraki

après avoir distribué la multiplication sur l'addition, on trouve






la somme de la progression géométrique d'exposant k, elle vaut 0 , sauf si j=m,dans ce cas elle se calcule directement et vaut

le résultat final est donc

MErci beaucoup pour les précisions, j'avais pas pensé à calculer la somme géométrique dans le cas où m=j
encore merci