Polynome minimal

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Vlad-Drac
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Polynome minimal

par Vlad-Drac » 14 Nov 2011, 20:56

Bonjour a tous.
un petit détail me gene pour le calcul du polynome minimal.
par exemple on a un polynome caracteristique P(X)= (X-1)²(X-2)²
alors voila ce quon me dit
M(X) (polynom min) =
(X-1)²(X-2)² soit
(X-1).(X-2)² soit
(X-1)²(X-2) soit
(X-1).(X-2)
j'ai bien compri qu'on cherchai le polynome annualteur le plus petit possible en terme de multiplicité mais entre le 2eme et le 3eme si les 2 sont annulateur , lequel est minimal ?

ensuite autre chose qui me derange c'est que pour verifié qu'un polynome est annulateur on me dit
(par exemple en prennant le dernier)
de faire (A-I)(A-2I) et de vérifié qu'il donne zero. mais alors si dans nos calcul du polynome caractéristique on trouve (X-2)²(X-1)² qui est sensiblement la meme chose que (X-1)²(X-2)² dans lalgebre des polynome , le calcul de (A-2I)(A-I) ne donne pas forcement pareil que (A-I)(A-2I) dans lalgebre des matrice .....

quelqun peut il m'eclairer ? :hein:

merci



cuati
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par cuati » 14 Nov 2011, 21:27

Bonsoir,
Le polynôme minimal d'un endomorphisme est aussi le "générateur" des polynômes annulateurs de cet endomorphisme...dans le sens que l'ensemble des polynômes annulateurs d'un endomorphisme est un idéal de K[X] qui est lui même un anneau principal, il existe donc un unique polynôme unitaire P tel que P.K[X] est égal à l'ensemble des polynômes annulateurs. Ce P est le polynôme minimal.
Pour répondre donc à ta première question :
si (X-1).(X-2)² annule ta matrice A (ou ton endomorphisme u) alors le polynôme minimal P divise (X-1).(X-2)². De même,
si (X-1)².(X-2) annule ta matrice A (ou ton endomorphisme u) alors le polynôme minimal P divise (X-1)².(X-2).
Un polynôme P qui diviserait à la fois (X-1).(X-2)² et (X-1)².(X-2) et ayant les mêmes racines ne peut alors être que (X-1)(X-2)
Pour répondre à ta deuxième question : le calcul de (A-2I)(A-I) donne la même chose que (A-I)(A-2I) ... il suffit de développer...

Vlad-Drac
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par Vlad-Drac » 15 Nov 2011, 02:04

merci bcp reponse tres clair. pour la 2eme partie je n'avais pas testé le calcul par je ne voulais pas tombé par exemple sur un cas particulier. je partais juste du principe que A.B nest pas forcement egale a B.A mais bon.
merci pr ta reponse entout cas

Skullkid
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par Skullkid » 15 Nov 2011, 03:34

Salut, il est vrai que si A et B sont deux matrices quelconques, AB n'a aucune raison d'être égal à BA. Mais ici on ne parle pas de n'importe quelles matrices, on parle de deux polynômes en la même matrice A. Si P et Q sont deux polynômes et A est une matrice quelconque, alors P(A)Q(A) = Q(A)P(A), parce que toutes les puissances de A commutent entre elles.

Vlad-Drac
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par Vlad-Drac » 15 Nov 2011, 16:08

ha ok ceci explique cela. merci skullkid

 

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