Polynôme de meilleur approximation

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit f une application continue de [-1,1] dans R.
Soit En l'espace vectoriel des fonction polynomiales de [-1,1] dans R de degré inférieur ou égal à n.
Soit P un élément de En tel que f-P équioscille sur n+2 points c'est-à-dire qu'il existe n+2 réels de l'intervalle [-1,1] où et :
Pour tout i appartenant à [0,n+1] :
Pour tout i appartenant à [0,n] :

1/ Soit Q un élément de En tel que :
Pour tout i appartenant à [0,n+1] montrer que si alors
De même si alors

J'y arrive pas.

2/ En déduire que P=Q et conclure.

Merci

[aviateur]

Bonjour
C'est quoi cet exercice? Avec f=0 et 2 points ( par exemple) on voit bien que cela n'implique pas P=Q.

J'en conclus : énoncé à revoir.

[pascal16]

Rappel, rien à voir avec un polynôme interpolateur, là au contraire, il faut plutôt imaginer le polynôme comme l'enveloppe d'un fonction oscillante.

pour chaque point xi, on est 'loin' de la fonction, cette distance est à chaque xi la même, et c'est la "distance" maximale du polynome à la fonction, c'est ||f-P||oo.

pour la 1.
||f-Q||oo. < ||f-P||oo.
ça veut dire qu'en chaque point xi, Q(xi) est plus proche de f(xi) que P(xi) de f(xi)
donc la proposition est vrai en valeur absolue.
Il y a ensuite la seconde condition, c'est qu'il y a 'inversion' de position relative en un élément de En et f à chaque xi. Ce qui te permet d'enlever les valeurs absolues ; soit P et Q démarrent au premier xi au dessus de f et alors Q sera toujours plus proche de f, et du même coté.
soit P et Q démarrent chacun de leur coté et alors ils sont toujours chacun de leur coté.

[pascal16]

exemple où P et Q ne démarrent pas du même coté du premier xi

[aviateur]

Oui @pascal, mais d'abord il doit faire un effort (c'est la moindre des choses) et corriger son énoncé comme je le demande. En effet ton dessin respecte une hypothèse qui n'est pas dans son énoncé.
C'est bien trop facile de dire "j'y arrive pas" alors que l'on n'est pas capable de donner un énoncé correct.

[pascal16]

Pour tout i appartenant à [0,n+1] montrer que si alors
De même si alors

ne respecte pas l'énoncé (ou alors j'ai pas compris)

il faut un seul indice coté gauche, par exemple :
Pour tout i appartenant à [0,n+1] montrer que si alors
De même si alors

[mehdi-128]

Désolé pour mon énoncé mais c'est la fin d'un problème difficile de le résumer en quelques lignes :
http://www.maths-france.fr/MathSpe/Prob ... Enonce.pdf

Question 15) a

[mehdi-128]

Bonjour
C'est quoi cet exercice? Avec f=0 et 2 points ( par exemple) on voit bien que cela n'implique pas P=Q.

J'en conclus : énoncé à revoir.

Peut être ai-je oublié de dire que P et Q sont des polynômes de Tchebychev et :



Une question demande de montrer que le polynôme de Tchebychev Tn+1 equioscille sur n+2 points

[mehdi-128]

exemple où P et Q ne démarrent pas du même coté du premier xi

Comment vous trouvez ce dessin ? Où sont f- P et f-Q ?

[pascal16]

les bras m'en tombent.

[mehdi-128]

Je comprends rien : vous allez trop vite pour moi.

[Ben314]

Salut,
Je comprend pas trop ce que vous bricolez, ni le "énoncé faux", ni le "si ça commence pas du même coté alors"...

Le truc demandé, c'est une on ne peut plus bête inégalités qui découle directement de l'énoncé :

Si on pose et qu'on suppose que alors on a donc .

Or, l'énoncé nous dit qu'aux points on a soit , soit et,
- Si , ça veut dire qu'on est dans le cas et dit que .
- Si , ça veut dire qu'on est dans le cas et dit que .

Enfin, la "conclusion" à la question suivante est immédiate : le polynôme P-Q change de signe bien trop souvent par rapport au degrés qu'il a (le T.V.I. nous dit qu'entre chaque changement de signe, il y a au moins une racine et ça lui fait trop de racines...)

[mehdi-128]

Merci Ben j'ai tout compris pour la question 1.

Par contre je vois pas l'utilité de cette question pour répondre à la question 2.

On a :

[mehdi-128]

Pour le théorème des valeurs intermédiaire faut prendre les intervalles ou ?

Comment savoir si P-Q s'annule en ou ?

Que se passe t-il si soit ? Ce cas particulier me gêne.

[aviateur]

Non @ben je ne "bricole pas".
Très souvent les énoncés sont faux et ce n'est pas le seul fait de @medhi . Je suis d'accord que l'on peut se tromper mais tout de même il y a un minimum d'effort à faire.
Dans ce cas ici, il (@medhi) extrait une question d'un problème dont notre travail n'est pas de commencer à reconstituer le puzzle. De plus plus on n'est pas censé deviner quel est le puzzle; en tout cas c'est ici ce qu'il se passe pour moi (je ne suis pas devin et je ne prétend pas connaître tout)
Donc je ne vois pas pourquoi on commencerait par répondre à une question à quelqu'un qui visiblement ne l'a comprend pas puisque elle même n'a pas beaucoup de sens. C'est pour cela que je pense qu'il faut commencer par le début et demander à ce que la question soit mieux posée.

Ici très rapidement on voit que la question pose problème pour plusieurs raisons.
a) D'abord l'existence de P et des points x_i n'est pas évoquée. Visiblement ce n'est pas le problème de celui qui pose la question. C'est une première lacune qui me fait penser à un énoncé foireux. De plus on se demande où est l'intérêt de l'exercice. Mais passons.
b) Que sait-on du polynôme Q? il est comme P dans E_n et plus proche de f que ne l'est P. Mais alors on demande de montrer que P=Q sans rien savoir de plus sur Q. Je me demande comment on peut y arriver.
L'énoncé pour moi est faux.

[Ben314]

a) D'abord l'existence de P et des points x_i n'est pas évoquée. Visiblement ce n'est pas le problème de celui qui pose la question. C'est une première lacune qui me fait penser à un énoncé foireux. De plus on se demande où est l'intérêt de l'exercice. Mais passons.
b) Que sait-on du polynôme Q? il est comme P dans E_n et plus proche de f que ne l'est P. Mais alors on demande de montrer que P=Q sans rien savoir de plus sur Q. Je me demande comment on peut y arriver.
L'énoncé pour moi est faux.

Concernant le point b), effectivement, il est parfaitement exact que l'on "ne sait rien de plus" sur Q, à part qu'il est dans En et "plus proche de f que P l'est".
Sauf que cette unique hypothèse permet parfaitement de conclure, à savoir qu'un tel Q n'existe pas.
La "déduction finale", c'est bien que "Q n'existe pas" et pas que "Q=P" vu que l'hypothèse faite, c'est que ||f-Q||<||f-P|| avec une inégalité stricte. Mais a mon avis, ça aurait été mieux d'avoir pris comme hypothèse que ||f-Q||||f-P|| avec une inégalité large et d'avoir comme conclusion que Q=P vu que ça montrerais non seulement qu'on ne peut pas approcher f "mieux" que ce que P fait, mais ça montrerais en plus que P est le seul à approcher "aussi bien" f.

Concernant le point a) que tu soulève, je suis d'accord avec toi : il y a un problème vu que l'énoncé s'exprime sous la forme "Soit P dans En qui équioscille..." ce qui signifie qu'on est sensé savoir qu'un tel P existe (ce qui effectivement a été été démontré dans la première partie de l'exo).
Sauf que concernant la résolution de cette partie là de l'exercice, tu t'en fout comme de l'an 40 de savoir comment on démontre qu'un tel P existe, et tu peut parfaitement raisonner comme si l'énoncé disait : "Supposons qu'il existe un polynôme P de En qui équioscille..."

EDIT : En fait, en (re)regardant l'énoncé, concernant le Q tel que ||f-Q||<||f-P||, c'est aussi formulé sous la forme "Soit Q tel que..." qui, surtout vu la conclusion obtenue (un tel Q n'existe pas), aurait du être rédigé sous la forme "Supposons qu'il existe Q tel que ..." (mais c'est assez fréquent de voire ce type de formulation là vu que ça va plus vite à écrire "Soit ..." que "Supposons qu'il existe...")

[mehdi-128]

Merci pour vos réponses j'ai réussi à faire la question 2.

Le cas f=P implique aussi une contradiction donc ça marche.

Du coup f-P ne s'annule pas en et d'après le théorème des valeurs intermédiaires Q-P s'annule sur

Il y a n+1 intervalles donc n+1 racines et enfin