Polynôme de matrices

[Acn]

Bonjour, !

J'ai une matrice A d'ordre n (à coefficients réels), qui vérifie la relation:
A² + A + In = 0 (In = matrice identité d'ordre n)

et je dois déterminer si A est diagonalisable, puis construire une telle matrice pour n=2.


Si A est une matrice diagonale c'est évident, mais dans les autres cas euh ce n'est pas si simple :x

Je viens d'avoir le cours sur les polynômes annulateurs mais je ne sais pas si il faut les utiliser dans ce cas.

Mon idée: soit L une valeur propre de A, alors L est racine de X² + X + 1
Donc L est le complexe (-1-i*sqrt(3))/2 ou (-1+i*sqrt(3))/2
(sqrt(3) = racine de 3)

Du coup A admet 2 valeurs propres complexes distinctes et n'est diagonalisable que dans le cas n=2.

Mais je ne suis pas du tout sûre de mon raisonnement,
pourriez-vous m'éclairer un peu svp?

Merci :))

A.

[Maxmau]

Bj

Dans le domaine réel A n'est jamais diagonalisable puisque A n'admet pas de valeur propre
Dans le domaine complexe A est toujours diagonalisable puisqu'elle admet un annulateur simplement scindé
Si tu ne connais pas ce résultat montre que l'espace est somme directe des 2 SEV propres.

Une matrice peut très bien être diagonalisable avec des vp multiples