Polynôme linéaire par morceaux

[harleen]

Bonjour,
Je vous écris car je rencontre un problème avec l'interpolation par morceaux.

f(x)=1/(1+x)
x appartient à I= [0,1].

Pouvez_vous m'aider à trouver un moyen de déterminer le nombre minimal d'intervalles, pour que le polynôme linéaire par morceaux qui interpole la fonction par intervalles donne une erreur <=10^-5?

Bien évidemment, je ne me permet pas de vous demander la solution toute faite, mais dans on a un peu "survolé" cette partie du cours, et j'aimerai avoir votre aide, pour savoir comment m'y prendre.

Merci d'avance,

[tize]

Bonsoir,
je n'ai pas fait les calculs mais si tu nommes la fonction affine qui interpole f sur le sous intervalle de en et alors puisque f est convexe ce que tu cherches revient à dire que pour tout x dans .
Tu peux expliciter clairement , l'inéquation reviendra alors (après multiplication par (1+x) ) à chercher les valeurs de pour lesquels un polynôme du second degré est inférieur à une constante...
Il y aura donc une distance maximum entre x et chaque bornes de l'intervalle qui ne devra pas être dépassée, il suffira alors de construire assez petit et la longueur de ce dernier intervalle te permettra de trouver le nombre d'intervalles nécessaire : (éventuellement +1, E partie entière)

[harleen]

Bonsoir José,
Je te remercie tout d'abord pour ta réponse on ne peut plus complète, claire et précise.
Seulement, j'ai une question (qui peut paraitre un peu stupide), mais quand tu parles du sous-intervalle [x_i;x_{i+1}] de [0;1], ma question est : comment choisir ce sous-intervalle?
en lisant ton post, je pensais que [x_i;x_{i+1}] devait justement correspondre à l'intervalle [0;1].
Peux-tu m'éclairer sur ce point s'il te plait??

Merci d'avance

[mathelot]

Bonjour,

Salut Tize, :happy2:


en gardant tes notations,


est la fonction affine qui interpole f aux bornes
de l'intervalle

avec

d'après le théorème des accroissements finis,
il existe tel que

on pose





f est convexe, f ' est croissante, f'' est positive,
décroissante, majorée par 2.



En intégrant deux fois cette inégalité, on montre que:



On considère une subdivision régulière de [0;1] de pas où n est un entier suffisamment grand:



Il suffit donc de prendre pour satisfaire l'inégalité désirée :

[harleen]

Bonjour,

Merci énormément pour vos éléments de réponse.
On doit donc utiliser la relation Nh= b-a.
Avec l'intervalle [a,b] et N : le nombre minimal d'intervalles, et donc déduire que Nh=1, donc h=1/N, et après, faire le ln pour trouver N.

Je vois désormais ce qu'il faut faire :id:

Encore une fois merci beaucoup!!!

[tize]

Salut Mathelot :we: