Polynôme, leibniz

[marsmallow]

Bonsoir, je bloque totalement sur l'exo et ce depuis des lustres, vous pourriez m'aider svp?

1) Prouver par récurrence sur n>>1 qu'il existe un polynôme Pn appartenenant à Rn -1[X] tel que la dérivée n-ième de la fonction arctan soit de la forme
arctan(n)(x) =Pn(x)/(1 + x²)^n. Préciser la relation de récurrence entre Pn + 1(x) et Pn (x).

2) En développant la relation ((1 + x2 ) arctan' (x))(n) à l'aide de la formule de Leibniz, établir une relation de récurrence
entre Pn + 1, Pn et Pn - 1 .

3) En déduire que Pn' + n(n - 1)Pn - 1 = 0.

[sniperamine]

Bonsoir, je bloque totalement sur l'exo et ce depuis des lustres, vous pourriez m'aider svp?

1) Prouver par récurrence sur n>>1 qu'il existe un polynôme Pn appartenenant à Rn -1[X] tel que la dérivée n-ième de la fonction arctan soit de la forme
arctan(n)(x) =Pn(x)/(1 + x²)^n. Préciser la relation de récurrence entre Pn + 1(x) et Pn (x).

2) En développant la relation ((1 + x2 ) arctan' (x))(n) à l'aide de la formule de Leibniz, établir une relation de récurrence
entre Pn + 1, Pn et Pn - 1 .

3) En déduire que Pn' + n(n - 1)Pn - 1 = 0.

Bonsoir qu'est ce que t'as fait ?

[marsmallow]

bonsoir, j'en suis qu'à la question 1, mais je bloque rien que pour la récurrence, un peu d'aide ne sera pas de refus ;)

[alavacommejetepousse]

bonsoir
on vérifie pour n = 1 avec P1 = ?
on suppose le résultat pour n , on dérive comme un produit et on obtient le résultat au rang n+1 en posant Pn+1 qui va bien (on vérifie que cest bien un polynôme)

[marsmallow]

bonsoir, j'y arrive pas pour la question 1)

faut que je trouve arctan commetn?

[AceVentura]

On a . Donc si je note , on a bien .
Ceci est l'initialisation d'une récurrence que tu dois faire.

Suppose l'existence d'un tel polynôme pour un certain n fixé, et dérive alors l'égalité.