Polynome de Legendre

[pozor16]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'aide pour résoudre un problème sur les polynomes de Legendre( est translaté à l'iintervalle [0,1] et normalisé).

Soit N(x) =

où =

Je dois montrer que toutes les racines de N(x) sont réelles et distinctes (a étant réelle).

Quelqu'un peut-il me donner une piste?

Merci d'avance

[Maxmau]

Bonjour à tous,

J'aurais besoin d'aide pour résoudre un problème sur les polynomes de Legendre( est translaté à l'iintervalle [0,1] et normalisé).

Soit N(x) =

où =

Je dois montrer que toutes les racines de N(x) sont réelles et distinctes (a étant réelle).

Quelqu'un peut-il me donner une piste?

Merci d'avance

Bj Applique "Rolle' en cascade

[cdav]

Bj Applique "Rolle' en cascade

Soit a1 , a2 , . . . , ap les racines d’ordres impairs de Ln appartenant à ];)1, 1[.
Soit Q = (X a1 )(X a2 ) . . . (X ap ). La fonction t Ln (t)Q(t) est continue,
1
de signe constant sur [;)1, 1] sans être la fonction nulle donc 1 Ln (t)Q(t) dt = 0.
Compte tenu de b) on a nécessairement p n puis p = n car le nombre de racines
ne peut excéder n.. De plus les racines a1 , a2 , . . . , an sont simples car la somme de
leurs multiplicités ne peut excéder n.
http://www.ismath.fr