Polynôme de Lagrange

[upium666]

Bonjour à tous et à toutes !
Je suis en 1ère S et notre professeur de mathématiques nous a expliqué comment trouver un polynôme de second degré reliant trois points donnés répartis aléatoirement sur un repère (O,i,j) en utilisant le polynôme de Lagrange
J'ai bien compris le principe et j'ai été apte à reproduire la méthode
Ma question est issue de ma simple curiosité (comme je ne suis qu'en première, je ne demande rien de précis) : Comment monsieur Lagrange a pensé les fonctions Li(x) de telle manière à ce que leur somme donne une fonction finale qui est celle qui relie des points donnés (=Quelle était son "intuition" ?)
Merci bien (^_^)

[Olympus]

Salut !

Y a pas besoin du polynôme de Lagrange pour ça ! Mais bon, si tu y tiens vraiment... C'est un résultat classique en algèbre linéaire et je crains que tu n'aies pas les outils nécessaires pour comprendre la preuve.

Soit une famille de n+1 points de , étant le corps dans lequel on travaille ( tu le prends comme étant égal à dans ton cas ) et les deux à deux distincts. On définit l'application linéaire de ( l'ensemble des polynômes à coefficients dans et de degré inférieur ou égal à n ) dans qui à un polynôme associe le (n+1)-uplet . est une bijection ( noyau réduit au singleton {0} et les espaces de départ et d'arrivée ont la même dimension ), donc pour tout i, il existe un unique polynôme de degré inférieur ou égal à n tel que càd qu'il prend la valeur 1 en et 0 sur les autres ( en gros, l'image de ce polynôme par est le i-ème vecteur de la base canonique de l'espace d'arrivée ), et puisqu'il prend 0 sur les points d'indices différents de i, alors il s'écrit sous la forme et puisqu'on veut qu'il prenne la valeur 1 en on a aussi , d'où la forme de ces polynômes. Maintenant, pourquoi on peut construire avec ces petits polynômes le polynôme recherché ? Ben le polynôme recherché c'est or par linéarité ça vaut

Bref, rdv au supérieur pour déchiffrer cela :lol3: