Polynome et groupe

[yodelf]

Bonjour !! Va lire le règlement avant de poster!

le polynome


X^3 + 5X + 1

est il irréductible dans Q[X]?


et comment montrer que tout groupe abélien d'ordre 210 est cyclique?

merci de vos conseils

[Clembou]

le polynome

X^3 + 5X + 1

est il irréductible dans Q[X]?


et comment montrer que tout groupe abélien d'ordre 210 est cyclique?

merci de vos conseils

Bonjour ??? Il faut t'aider ?

[yodelf]

en fait j'aimerai avoir une méthode pour savoir si un polynome est irréductible ou non.

on en a fait en cours mais c'est très mal expliqué.

merci pour vos réponses

[Clembou]

en fait j'aimerai avoir une méthode pour savoir si un polynome est irréductible ou non.

on en a fait en cours mais c'est très mal expliqué.

merci pour vos réponses

http://clementboulonne.hbg.fr/cours/m301.pdf (voir la fin du cours)...

[yos]

Si un polynôme de degré 3 est réductible, alors il a une racine rationnelle p/q.
Remplace x par p/q et fait de l'arithmétique élémentaire.
Pour le groupe d'ordre 210, il faut regarder les décompositions possibles en produit de groupes cycliques. As-tu le théorème de décomposition?

[amstramgram]

Pour un polynome de degrè inférieur ou égal à 3, être irréductible est équivalent à ne pas avoir de racines dans le corps considéré (ici Q).

En effet, soit P un polynome de degré 3 qui n'a pas de racines dans un corps K. Supposons par l'absurde que P ne soit pas irréductible. Alors il existe une factorisation non triviale de P sous la forme P=QR (i.e. que Q et R ne sont pas des inversibles de K[X], i.e. que ce sont pas des scalaires). Q et R ont donc un degré supérieur ou égal à 1. Comme deg P=3, les seules possibilités pour les degrés de Q et R sont 2 et 1 ou 1 et 2, ce qui signifie que P a un facteur de degré 1 et donc une racine dans K. Contradiction.

Mais attention, ce n'est pas vrai si le degré du polynome est supérieur à 4 !!