Polynôme - divisiblité

par **Dinozzo13** » 10 Mar 2012, 15:48

Bonjour j'aimerai prouver ceci :

Soit

où

désigne un corps.

divise

Ca me paraît évident, j'ai fait ce type de raisonnement mais avec des cas particulier en résolvant des équations ! Mais j'ai du mal à le prouver.

Je suis parti d'ici :

si je pose P=Q, mais je ne parvient pas à conclure correctement :triste:

Merci d'avance pour votre aide

par **ev85** » 10 Mar 2012, 15:52

Dinozzo13 a écrit:Bonjour j'aimerai prouver ceci :

Soit où désigne un corps.
divise

Ca me paraît évident, j'ai fait ce type de raisonnement mais avec des cas particulier en résolvant des équations ! Mais j'ai du mal à le prouver.

Je suis parti d'ici :
si je pose P=Q, mais je ne parvient pas à conclure correctement :triste:

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour.

Que peux-tu de dire de la structure de l'ensemble des polynômes P qui vérifient cette propriété ?

amicalement,

e.v.

par **Dinozzo13** » 10 Mar 2012, 15:59

K est un corps donc :
-

est commutative ;
- K possède au moins deux éléments ;
- Tout polynôme non nul de K admet un inverse

pour

.

par **ev85** » 10 Mar 2012, 16:15

Dinozzo13 a écrit: - Tout polynôme non nul de K admet un inverse pour .

Wow !

C'est quoi l'inverse de

? Tu m'avais pas dit qu'on prenait les séries de Puiseux !

e.v.

par **Doraki** » 10 Mar 2012, 16:16

Dinozzo13 a écrit: - Tout polynôme non nul de K admet un inverse pour .

euh ° n'est pas une loi de K et les éléments de K ne sont pas des polynômes.

Tu pourrais montrer que pour tous polynômes A,B,C, A°B - A°C est multiple de (B-C) ?

par **Dinozzo13** » 10 Mar 2012, 16:29

Je voulais dire K[X].

est divisible par B-C car si on prends

, on a :

Or on sait que

donc ...

par **Dinozzo13** » 10 Mar 2012, 16:32

ev85 a écrit:Wow !

C'est quoi l'inverse de ? Tu m'avais pas dit qu'on prenait les séries de Puiseux !

e.v.

Série de Puiseux ?

par **Doraki** » 10 Mar 2012, 16:37

Tu voulais dire que K[X] muni de + et ° est un corps ????

par **ev85** » 10 Mar 2012, 16:41

Dinozzo13 a écrit:Série de Puiseux ?

Ben oui, tu n'as pas Wikipedia chez toi ?

e.v.

par **Dinozzo13** » 10 Mar 2012, 16:55

Doraki a écrit:Tu voulais dire que K[X] muni de + et ° est un corps ????

Ben normalement c'est

, mais ici

intervient

par **Doraki** » 10 Mar 2012, 17:02

Sauf que (K[X],+,*) n'est pas un corps, et (K[X],+,°) encore moins.

par **Maxmau** » 10 Mar 2012, 17:50

Dinozzo13 a écrit:Bonjour j'aimerai prouver ceci :

Soit où désigne un corps.
divise

Ca me paraît évident, j'ai fait ce type de raisonnement mais avec des cas particulier en résolvant des équations ! Mais j'ai du mal à le prouver.

Je suis parti d'ici :
si je pose P=Q, mais je ne parvient pas à conclure correctement :triste:

Merci d'avance pour votre aide

Bj

Ce serait pas P(X) - X divise P(P(X)) - P(X) ??
au temps pour moi, ton énoncé est bon (le mien aussi d'ailleurs)
Pour démontrer ton résultat, travaille modulo P(X) - X pour réduire P(P(X)) - X

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