Polynome et dérivée

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bisthebis
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Polynome et dérivée

par bisthebis » 05 Déc 2016, 01:28

Bonjour à tous.
Mes excuses si je me suis trompé de section, je suis belge et je ne comprends pas bien le système français :D
Je suis en train de me préparer à passer, l'été prochain, le test d'admission aux études d'ingénieur civil de l'université locale. (Je sors donc de secondaire en juin, mais vu que c'est un test universitaire j'ai jugé pertinent de poster dans la section "supérieur")

J'ai à ma disposition une brochure avec les questions des années précédentes, et je bloque particulièrement sur une question d'algèbre, pourtant ma matière de prédilection.

"Soit un polynôme f(x) qui s'annule en x = 2, tel que sa dérivée, le polynôme f'(x), s'annule aussi en x = 2.
Montrer que f(x) est multiple de (x-2)²."

Puisque f s'annule en 2, le polynome est divisible par (x-2). Idem pour f'. Si f(x) est de degré N, on a :
f(x) = (x-2) * Q(x)
f'(x) = (x-2) * G(x)
avec Q(x) et f'(x) de degré N-1 et G de degré N-2
Et je dois montrer qu'on peut écrire f(x) ainsi :
f(x) = (x-2)*(x-2) * P(x) <=> Q(x) = (x-2) * P(x)
Avec P de degré N-2.

J'imagine qu'il y a une relation entre Q et f' (notamment une racine commune : 2. Mais c'est ce que je veux prouver :D) mais je ne la trouve pas.

Quelqu'un aurait une piste à suggérer ?
Merci d'avance.



Doraki
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Re: Polynome et dérivée

par Doraki » 05 Déc 2016, 01:59

Et si tu dérivais les deux cotés de f(x) = (x-2) * Q(x) ?

bisthebis
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Re: Polynome et dérivée

par bisthebis » 05 Déc 2016, 22:18

Ah, je me sens idiot de ne pas y avoir pensé.
Ca marche tout seul, merci bien !

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mathelot
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Re: Polynome et dérivée

par mathelot » 06 Déc 2016, 00:10

autre méthode: utiliser la formule de Taylor (en x=2), formule exacte (sans reste)
pour les polynômes

bisthebis
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Re: Polynome et dérivée

par bisthebis » 06 Déc 2016, 23:20

Je n'en avais jamais entendu parler, et pour ce que Google m'en donne, c'est largement au-dessus de mes capacités (ou du moins de mes connaissances). Tu pourrais m'expliquer brièvement l'idée ?

 

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