Polynôme de degré 4

[Stykame]

Bonjour à tous,

Je bloque désespérément sur un exercice :
"Soit le polynôme x^4 + 14x^2 − 34x − 14. Trouver une racine au moins double à ce polynôme."

J'ai tenté la méthode Ferrari sans résultat...

Avez-vous une idée ?

[LB2]

Bonjour,

sais tu comment chercher les racines rationnelles de ce polynôme ?

Edit : je pense qu'il y a une erreur de recopie car ce polynôme n'a pas de racine double

[tournesol]

Je confirme : pas de racines communes entre le polynôme et son polynôme dérivé .

[Stykame]

Bonjour et merci pour vos réponses.

Je vais vérifier tout ça et vous fait un retour !

Cdt

[Stykame]

Bonjour,

En effet il y avait une erreur. On a alors x^4 + 14x^2 − 34x − 4.

[GaBuZoMeu]

Ça ne va pas mieux.

[Black Jack]

Salut,

Il n'y a pas de racines double ...

P(x) = x^4 + 14x^2 − 34x − 4.

Recherche d'une éventuelle racine entière ...
Si il y a une racine dans Z, c'est obligatoirement un diviseur de 4 (au signe près).
Donc les candidats sont : 1 , 2 et 4 (et les mêmes en négatif)

On essaie et on trouve que P(2) = 0 ... donc x^4 + 14x^2 − 34x − 4 est divisible par (x-2)
On fait la division euclidienne de x^4 + 14x^2 − 34x − 4 par (x-2) et on obtient :

x^4 + 14x^2 − 34x − 4 = (x-2).(x³+2x²+18x+2)

Résolution de x³+2x²+18x+2 = 0 (Méthode de Cardan)

Poser x = y - 2/3
x² = y² + 4/9 - 4/3.y
x³ = y³ + 4/3 y - 2.y² - 8 /27

x³+2x²+18x+2 = 0
y³ + 4/3 y - 2.y² - 8 /27 + 2.(y² + 4/9 - 4/3.y) + 18(y-2/3) + 2 = 0
y³ - 4/3 y - 8 /27 + 8 /9 + 18y - 12 + 2 = 0
y³ + 50/3 y - 254 /27 = 0

p=50/3 , q = -254 /27

(q/2)² + (p/3)³ = (254/27)² + (50/3)³ > 0 --> 1 racine réelle et 2 racines complexes conjuguées qui sont :


Il y a aussi 2 racines complexes conjuguées :



On repasse ensuite aux valeurs de x par x = y - 2/3 ...

Remarque, si il n'y avait pas eu de racine entière "évidente", la méthode de Ferraris permettait de trouver les racines ... mais c'est un peu plus long.

[Stykame]

Merci beaucoup pour ta réponse plus que complète ! J'ai très bien compris la démarche grâce à toi.

[Ben314]

Salut,
Si ce qu'on cherche des les racines au moins doubles d'un polynôme P, il est infiniment plus rapide de calculer calculer le PGCD de P et de P' avec l'algorithme d'Euclide (ce qui est facilement faisable quelque soit le degré) plutôt que de chercher les racines de P.
Ensuite, si comme ici le PGCD vaut 1, ben c'est qu'il n'y a pas de racines multiples et c'est fini.

[Black Jack]

Merci beaucoup pour ta réponse plus que complète ! J'ai très bien compris la démarche grâce à toi.

Tant mieux ...

J'ai juste montré comment on pouvait ici trouver les racines ... pour info.

Cependant, comme cela a été dit plusieurs fois, il n'y a pas besoin de chercher les racines pour montrer qu'il n'y a pas de racines doubles.