Polynôme deg 3 (1 racine donnée)

[Aomichi]

Bonjour à tous j'espère que vous passez de bonnes fêtes


Alors voilà je bloque sur cette question en soi je comprends la méthode de résolution ( à peu près) mais impossible de résoudre l'exercice

Déterminez le polynôme
P(x)=x^3+ax^2+1.974x+b
sachant que a et b sont réels et que 0.6-2.1\i en est une racine.

a= ?
b= ?
La Racine réelle = ?

Voilà j'espère que vous pourrez m'éclaircir sur le sujet !

[Elias]

Remplace x par 0,6-2,1i dans l'expression de P(x). Comme P(0,6-2,1i)=0, tu obtiendras normalement un système de deux équations à deux inconnues (a et b).
Ne pas oublier qu'un nombre complexe est nul ssi sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.

[Aomichi]

Bonjour merci de ta réponse. J'ai essayer de faire ta solution mais le " i " me pose problème. Notre professeur nous propose elle de factoriser le polynôme. Je vous avoue que je suis un peu perdu

[Elias]

Pourtant, ça n'est pas très compliqué.

En remplaçant x par 0,6-2,1i, cela donne :

(0,6-2,1i)^3 + a (0,6-2,1i)^2 +1,974 *(0,6-2,1i) + b = 0.

Le membre de gauche est un nombre complexe qui vaut après simplifications :

(-6,5376-4,05a+b) + (2,8476-2,52a) i

Ce nombre complexe est nul donc sa partie réelle et imaginaire sont nulles, ce qui permet d'écrire :

-6,5376-4,05a+b = 0
et
2,8476-2,52a = 0

Après résolution de ce systeme simple, on trouve :

a = 1,13

b= 11,1141

sauf erreur.


Concernant la racine réelle, on sait que 0,6-2,1i est racine et donc 0,6+2,1i aussi (son conjugué).
Le polynome se factorise par (X- (0,6-2,1i)) (X+ (0,6+2,1i))
Comme il y a aussi une racine réel k, on peut aussi factoriser par (X-k).

En developpant (X- (0,6-2,1i)) (X+ (0,6+2,1i)) et par identification, on trouve assez rapidement que la racine réelle est -2,33.

[Aomichi]

Je pense avoir compris dans l'ensemble ! Par contre peux tu me développer comment tu es passé de
(0,6-2,1i)^3 + a (0,6-2,1i)^2 +1,974 *(0,6-2,1i) + b = 0.
à
(-6,5376-4,05a+b) + (2,8476-2,52a) i

En effectuant le calcul de mon coté j'ai trouvé les valeurs -6.5376-4.05a+b mais pas le reste , j'avoue que ce n'est pas mon point fort.

Je te remercie en tout cas de prendre le temps de m'expliquer

[Elias]

Developpe l'expression en utilisant que i^2=-1 et i^3 = -i.

Ensuite tu regrouperas tous les termes qui contiennent du i et tu factoriseras par i.