Polynome en cosinus sur Q
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fou-de-math
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par fou-de-math » 21 Juin 2012, 20:11
Bonjour les amis:
SVP je cherche à montrer que:
pour n entier supérieur strictement à 3 et pour tout nombres rationnels ai (i=1.......k):
a0+a1cos(pi/n)+a2cos(2pi/n)+.............+akcos(kpi/n)=0 implique que a0=a1=.......=ak=0
à savoir que les cosinus dans la relation sont des nombres irrationnels.
et merci
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Elerinna
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par Elerinna » 22 Juin 2012, 17:59
La formule d'Euler :
puis un changement de variable tel que
fait aboutir.
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Elerinna
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par Elerinna » 22 Juin 2012, 18:54
busard_des_roseaux a écrit:on obtient un polynome de
dont
est racine ?
L'équation se résout dans
. Sur
, on utilise une relation entre
...
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nidalinho
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par nidalinho » 23 Juin 2012, 13:53
tu utilise la formule du cosinus cosx=1/2(exp(ix)+exp(-ix))
tu obtient
sigma(ak/2(exp(ikpi/n)+exp(-ikpi/n))=0
or exp(ikpi/n)+exp(-ikpi/n) est different de 0 car pour tout x expx >0
donc forcement ak=0 pour tout k de N. :id:
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