Polynôme à coefs entiers

par **Nightmare** » 11 Déc 2009, 20:31

Salut :happy3:

Aujourd'hui, pour "créer" un exercice, j'ai dû chercher des équations algébriques dont les racines (éventuellement complexes) non nulles étaient de module inférieur à 1. Pour simplifier, j'ai choisi de prendre mes coefficients entiers.

Technique bien connue, pour créer mon équation, je choisis mes racines et je développe

. Je me suis rendu compte après beaucoup de tentatives désespérées pour tomber sur un polynôme à coefs entiers que mes racines devaient avoir une propriété commune...
Question pour vous : laquelle ? :lol3:

Je ne sais pas si ce résultat est connu...

:happy3:

par **Ben314** » 11 Déc 2009, 22:04

Salut nightmare,
Je répondrait bien que si tout les z_n sont de module inférieur à 1 et que le produit doit être entier, alors elles sont toutes de module 1 et il y a du polynôme cyclotomique derrière tout ça...

(ou alors j'ai pas compris l'énoncé se qui me parrait fort probable.... :zen: )

par **nuage** » 11 Déc 2009, 22:23

Salut,
je ne sais pas si j'ai mieux compris l'énoncé que ben314 mais je dirais qu'en prenant des racines dans

on peut ensuite mettre au même dénominateur. Évidement le coefficient dominant n'est pas 1...

par **Nightmare** » 11 Déc 2009, 22:32

Salut à vous deux !

En gros, l'énoncé est de caractériser les racines d'un polynôme à coef entiers (et unitaire comme le souligne nuage) sachant qu'elles sont dans le disque unité.

Ben314 > Elles sont effectivement de module 1, mais ce n'est pas suffisant.

par **wserdx** » 11 Déc 2009, 22:39

Si tu imposes au polynôme d'être unitaire, c'est donc que son coefficient constant est le produit des racines. Si le polynôme est divisible par

, en divisant par z, on peut se ramener au cas où le coefficient constant n'est pas nul, et donc qu'aucune racine n'est nulle. Si les racines sont de module inférieur ou égal à 1, alors il en va de même pour leur produit. Pour que le produit soit entier, les seules possibilités sont +1 ou -1 et que les racines sont de module égal à 1. Les racines non réelles (1 et -1) doivent être conjuguées deux à deux.

par **Nightmare** » 11 Déc 2009, 22:43

wserdx a écrit:Si tu imposes au polynôme d'être unitaire, c'est donc que son coefficient constant est le produit des racines. Si le polynôme est divisible par , en divisant par z, on peut se ramener au cas où le coefficient constant n'est pas nul, et donc qu'aucune racine n'est nulle. Si les racines sont de module inférieur ou égal à 1, alors il en va de même pour leur produit. Pour que le produit soit entier, les seules possibilités sont +1 ou -1 et que les racines sont de module égal à 1. Les racines non réelles (1 et -1) doivent être conjuguées deux à deux.

C'est juste, mais comme dit ci-dessus, on peut restreindre encore plus la caractérisation !

par **Ben314** » 11 Déc 2009, 23:00

Ce que je disait c'est que les racines doivent être de module égales à 1 et donc racines de polynômes cyclotomiques : ton polynôme doit être un produit de polynômes cyclotomiques.
(i.e. si

est une racine alors les puissances de

à des exposants premier avec l'ordre de

doivent aussi être de racines du polynôme.

P.S. Pour faire plus simple, ton polynome est une fraction de différents

telle que le quotient soit un polynôme.

par **Nightmare** » 11 Déc 2009, 23:18

Tu trouves donc que les racines sont des racines primitives n-ème de l'unité. C'est ce que j'ai trouvé, sans le caractère primitif !

par **Ben314** » 11 Déc 2009, 23:25

Nightmare a écrit:Tu trouves donc que les racines sont des racines primitives n-ème de l'unité. C'est ce que j'ai trouvé, sans le caractère primitif !

Il me semble que toute racine n-ième de l'unité est une racine n'-ième primitive (pour un certain n' divisant n)....

Et ce que je racontait sur les exposants signifiait que, si

est racine alors

l'est aussi mais pas forcément

par **abcd22** » 11 Déc 2009, 23:27

Ben314 a écrit:Ce que je disait c'est que les racines doivent être de module égales à 1 et donc racines de polynômes cyclotomiques

« être de module 1 » n'implique pas « être racine d'un polynôme cyclotomique » : il y a des nombre de module 1 qui ne sont pas des racines de l'unité.

par **Ben314** » 11 Déc 2009, 23:29

Sauf que je voudrait bien que tu me donne un complexe de module 1 racine d'un polynôme à coeff entiers qui ne soit pas une racine de l'unité.

par **abcd22** » 11 Déc 2009, 23:40

Ben314 a écrit:Sauf que je voudrait bien que tu me donne un complexe de module 1 racine d'un polynôme à coeff entiers qui ne soit pas une racine de l'unité.

Ben la réponse que Nightmare attendait était que les racines du polynôme sont des racines de l'unité, mais tu ne l'as pas prouvé, tu l'as juste dit comme si c'était évident. Enfin peut-être qu'il y a un argument évident caché derrière le « donc » que j'ai cité et que je ne suis pas en état de le voir, en tout cas il n'a pas été donné dans la discussion.

par **Nightmare** » 11 Déc 2009, 23:43

Ben314 a écrit:Sauf que je voudrait bien que tu me donne un complexe de module 1 racine d'un polynôme à coeff entiers qui ne soit pas une racine de l'unité.

C'est justement ce qu'il faut prouver, que c'est forcément une racine de l'unité.

par **yos** » 12 Déc 2009, 08:13

On l'a fait il y a pas longtemps :
http://maths-forum.com/showthread.php?t=94166&highlight=polyn%F4me

par **Joker62** » 12 Déc 2009, 08:21

C'est pas le théorème de Kronecker-Weber ce machin ?

Si P dans Z[X] avec P unitaire irréductible dans Q et à racines de modules inférieur à 1 alors toutes les racines sont de modules 1 et P = X ou P est un Cyclotomique.

par **Joker62** » 12 Déc 2009, 08:27

Désolé, j'ai pas lu le lien vers l'autre post.
C'est bien un théorème de Kronecker...

par **yos** » 12 Déc 2009, 08:39

Joker62 a écrit:C'est pas le théorème de Kronecker-Weber ce machin ?

Oui, sans Weber.
Celui avec Weber va beaucoup plus loin : toute extension abélienne de Q est contenue dans une Q(u) avec u racine de l'unité.

par **Nightmare** » 12 Déc 2009, 14:34

yos a écrit:On l'a fait il y a pas longtemps :
http://maths-forum.com/showthread.php?t=94166&highlight=polyn%F4me

Salut Yos !

Je n'y ai pas vu de démonstration, ou alors j'ai mal regardé. En tout cas je me doutais que le résultat était connu, mais pas de là à ce qu'il porte le nom de théorème :lol3:

Je vous proposerai ma démonstration après manger.

:happy3:

par **yos** » 12 Déc 2009, 14:45

La preuve, c'est ce que j'avais écrit dans l'autre post :

Racines bornées => coefs bornés => nombre fini de polynômes de degré au plus d ayant ce genre de racines.
Ensuite on voit que l'ensemble des racines des polynômes en question est stable par exponentiation.

Evidemment ce n'est qu'un résumé...

par **Nightmare** » 12 Déc 2009, 15:31

Elle m'intéresse, je n'ai pas raisonné ainsi.

Voici comment j'ai fait rapidement :

Je note (xi) mes racines de module inférieur à 1. Je note

pour p quelconque. Mon idée est la suivante :

Supposons qu'on puisse prouver que P_p soit lui même à coef entier. L'ensemble des

pour p variant dans N est fini et on peut trouver une suite strictement croissante d'entiers

telle que

pour tout n.

Quelque soit k, on a donc l'existence d'une permutation

de

telle que

. Vu qu'on a exactement n! permutation, on peut trouver un entier k' tel que

et

et donc

et c'est donc que xi est une racine de l'unité.

Il reste à prouver que Pp est à coef entiers. Un peu de théorie des corps :

Je considère l'extension finie

et k son degré sur Q. On considère par la suite les k automorphismes de corps

. Rapidement, on montre que ces automorphismes laissent les Pp invariant et de ce fait ces derniers sont à coef dans Q. Or les (xi) étant algébriques sur Z, il en va de même pour les xi^p et donc les coefs de Pp sont entiers.

En espérant n'avoir pas trop raconté de bêtises !

Polynôme à coefs entiers

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