Polynôme à coef entier

par **Nightmare** » 26 Aoû 2009, 16:50

Bonjour :happy3:

Je vous propose cet exercice de ma confection type olympiades (je ne sais pas de quel niveau c'est).

Soit P un polynôme non nul à coefficients entiers et de degré n.

Il s'agit de montrer que pour tout entier k, divise

Amusez-vous bien

:happy3:

par **lapras** » 26 Aoû 2009, 17:05

Salut,
soit

,

divise

.
Soit

tel que

on prouve que

tels que

où

(c'est assez évident avec un systeme pour déterminer les

)
Il est clair que

,

. (valuations

-adiques avec les coefficients binomiaux si on veut)
donc

Fini.

par **Nightmare** » 26 Aoû 2009, 17:10

Ouaip,

pour éviter le système, on peut utiliser les polynômes de Lagrange.

par **_-Gaara-_** » 26 Aoû 2009, 17:16

Salut,

faut se décider soit c'est Q soit c'est G hein
sinon gg même si je ne vois pas ce que l'argument des valuations vient faire ici....

par **lapras** » 26 Aoû 2009, 17:19

Pour montrer qu'un coeff binomial est entier il suffit de calculer les valuations p adiques du numérateur et du dénominateur.

par **_-Gaara-_** » 26 Aoû 2009, 17:25

Tu veux dire que tu utilises les valuations pour montrer que C_n^k est entier ?

par **lapras** » 26 Aoû 2009, 17:31

Oué je les utilise. (on peut aussi de maniere combinatoire bien sur !)

par **_-Gaara-_** » 26 Aoû 2009, 17:33

comme quoi j'apprends tous les jours une nouvelle chose ! :D
oké même si c'est un peu 'poussé' pour ce que c'est :hein:

par **mathelot** » 27 Aoû 2009, 05:51

lapras a écrit:

bonjour,

peux tu préciser ? la variable

n'intervient pas à droite.

est-ce qu'il faut lire

par **lapras** » 27 Aoû 2009, 10:03

Oui désolé je modifie.