Polynome et base

[Fanfan]

bonjour,
Voici un exercice que je devais résoudre, je vous donne ce que j'ai fait, pouvez-vous me dire si c bon ou faux, et la méthode à utiliser, merci :

a1 a2 a3 trois réels tels que a1
L1(X)=[(X-a2)(X-a3)]/[(a1-a2)(a1-a3)]

L2(X)=[(X-a1)(X-a3)]/[(a2-a1)(a3-a1)]

L3(X)=[(X-a1)(X-a2)]/[(a3-a1)(a3-a2)]

Montrer que la famille (L1,L2,L3) est une base de l'ev R2[X] des polynomes à coeff. réels et de degré inférieur à 2.

J'ai fait un système puis j'obtient :

Soit z1,z2,z3 tels que z1L1+z2L2+z3L3=0 si z1=z2=z3=0

j'abouti à z3*(cste(cste+cste))=0, je peux en conclure en remontant le système que la famille est libre et donc une base puisqu'elle contient 3 eléments.

[fahr451]

bonjour

et qui te dit que cst(cst+cst) n 'est pas 0 ?

[Fanfan]

oui je sais, disons que c'est une hypothèse puisque je dois trouver ce résultat, mais je me doute que ce n'est pas très rigoureux. Quelle méthode me conseil tu ?
Merci pour ta réponse

[fahr451]

commence donc par prendre la valeur en a1,a2,a3

de la relation

z1L1 +z2L+z3L3 = 0

[Fanfan]

c déja fait, c t la question 1. Je dois m'aider de ça :doh: ?

[fahr451]

bien sur c'est immédiat

[Fanfan]

on précise que 1<=i<=3,1<=k<=3, i non = à k
calculer Li(ai) et Li(ak)

C'est la question 1.

Donc pour a1 L1=1 L2=L3=0
a2 L2=1 L1=L3=0
a3 L3=0 L1=L2=0
Donc aucune combinaison linéaire non trivial ne convient donc c'est une base ?

Cependant après on me demande d'exprimer en fonction de a1,a2,a3, les coordonnées d'un polynome P de R2[X] dans cette base. Je ne vois comment je peux en déduire ça avec cette méthode ?

[fahr451]

ton DONC est abusif

z1L1 +z2L2 +z3L3 = 0 donne évalué en a1

z1 = 0

évalué en a2 z2 = 0 évalué ena3 z3 = 0 d'où la liberté et base grâce à la dimension

pour P , on a P = z1 L1 +z2L2 +z3L3 en évaluant on a zi = P(ai) ce sont les coordonnées de P dans la base (Li)

[Fanfan]

C'est à dire que les coordonnées d'un polynome P de R2[X] sont
P(a1), P(a2) P(a3) dans la base (L1,L2,L3) ?
Merci

[Fanfan]

Dans l'énoncé, on me dit que l'espace vectoriel des applications linéaires de R2[X] dans R est de dimension 3, comment est-est ce possible ?

[fahr451]

pour E et F deux k ev de dimensions p et n

l'espace vectoriel des applications linéaires de E dans F L(E,F) est de diemnsion pxn

ici E = R2[X] p = 3 et F = R n = 1

[Fanfan]

Merci pour ta réponse.

Sachant que (L1,L2,L3) est une base de R2[X], que les polynomes de R2[X] ont pour coordonnés ( P(a1), P(a2), P(a3) ), que l'ev des applications linéaires de R2[X] dans R[X] est de dimension 3, que les applications f1(P)=P(a1), f2(P)=P(a2), f3(P)=P(a3)
me permet de dire que (f1,f2,f3) est une base ? Si non, que me reste t-il à demontrer ? MErci pour vos aides

[fabb]

2 solutions :
-Tes polynômes ne sont rien de moins que les polynômes d'interpolation de Lagrange (avec a1,a2,a3 distincts) qui forment une base de R2[X];
- Tu développes L1,L2,L3 ( (X-a2)(X-a3) ; (X-a1)(X-a3) ; (X-a1)(X-a2) suffit) et tu calcules le déterminant de ces trois vecteurs dans la base canonique de E=R2[X] B=(1,X,X²) pour pouvoir conclure qu'ils forment une base de E (grace à a1,a2,a3 distincts).
J'espère que j'ai pu t'aider.

[fahr451]

te reste à ptouver que (l1,l2,l3) est libre

a1l1 +a2l2+a3l3 = 0 implique en évaluant en L1
a1 = 0 pusi en évaluant en L2 a2 = 0 e en L3 a3 = 0 d'où la liberé er puisque dim L(R2[X],R) = 3 la famille libre qui a trois vecteurs est une base

( c'est une preuve parmi d'autres)