Points fixes

[Anonyme]

Salut!

J'ai 2 fonctions f et g de [a,b] dans [a,b] telles que g o f=f o g et f monotone.
je dois montrer que f et g ont un point fixe commun.
J'ai aussi l'indication: Un+1=f(Un) !!?

J'arrive à une suite de point fixes pour f et g mais ca convient pas .

[abcd22]

Que peut-on dire de la convergence de la suite Un ?

[yos]

L'ensemble des pts fixes de f est stable par g.

[redwolf]

Bonsoir.

Les fonctions sont continues n'est-ce pas ?

Merci

[Anonyme]

les fonctions sont continues

[yos]

Je résume :
1) g a un point fixe a.
2)U0=a et U(n+1)=f(Un) est une suite de points fixes de g.
3) Cette suite est bornée. Si f est croissante, alors (Un) est monotone. Elle converge et sa limite est un point fixe de f et de g.
Si f est décroissante, alors fof est croissante, donc U(2n) converge et sa limite L vérifie fof(L)=L. Si f(L)>L, alors fof(L)<=f(L), donc L<=f(L) absurde. Si f(L)

[abcd22]

je vois pas la contradiction ds le rst par l'absurde
si e

[abcd22]

C'est que si on suppose f(L) > L on obtient f(L) <= L (et pas f(L) >= L), c'est contradictoire.

[dilzydils]

C'est que si on suppose f(L) > L on obtient f(L) <= L

?? Comment tu obtiens ca

[abcd22]

En appliquant f à l'inégalité : f est décroissante et f(f(L)) = L.

[Anonyme]

justement, en aplliquant f, on trouve pas ce que tu dis

[yos]

Bonjour.
Dragon et Dylzidils ont raison : le cas où f est décroissante est faux. J'ai été trop vite et mis une inégalité dans le mauvais sens.