Points critiques à deux variables

[frankyboy1994]

Bonjour, j'ai de la difficulté à résoudre le système d'équations des dérivées partielles dans ce problème:

-Montrez que la fonction: f(x,y)= -(x²-1)²-(x²y-x-1)² n'a que deux points critiques.

Pour cela, il faut trouver les dérivées secondes, les égaler à zéro et résoudre le système d'équations. Les dérivées secondes sont:

fx = -4x(x²-1)-2(x²y-x-1)(2xy-1)

fy = -2x²(x²y-x-1)

Donc il faut résoudre:

-4x(x²-1)-2(x²y-x-1)(2xy-1)=0
-2x²(x²y-x-1)=0

Le problème c'est que je n'arrive pas à résoudre ce système!

Merci à l'avance!

[chan79]

Bonjour, j'ai de la difficulté à résoudre le système d'équations des dérivées partielles dans ce problème:

-Montrez que la fonction: f(x,y)= -(x²-1)²-(x²y-x-1)² n'a que deux points critiques.

Pour cela, il faut trouver les dérivées secondes, les égaler à zéro et résoudre le système d'équations. Les dérivées secondes sont:

fx = -4x(x²-1)-2(x²y-x-1)(2xy-1)

fy = -2x²(x²y-x-1)

Donc il faut résoudre:

-4x(x²-1)-2(x²y-x-1)(2xy-1)=0
-2x²(x²y-x-1)=0

Le problème c'est que je n'arrive pas à résoudre ce système!

Merci à l'avance!

salut
Montre que x n'est pas nul
x²y-x-1=0 d'après la seconde équation
tu arrives vite à la condition nécessaire x²=1

[frankyboy1994]

Ok merci mais j'ai trouvé une autre méthode: substituer y par (x+1)/x² dans la premiere et on arrive à -4(x²-1)= 0 et donc x²=1 comme tu as dit.