Salut à tous, je poste ce message car j'ai un peu de mal avec une question d'un exercice à faire en DM (je suis en PCSI). Voici l'énoncé:
Soit la courbe (L) dont une équation polaire est r = 2/(1+2cos(Théta))
1°) Donner la nature de cette courbe, la représenter graphiquement: on déterminera ses asymptotes, son centre , ses axes de symétrie et ses sommets.
2°) Soit Phi un paramètre réel tel que Phi compris entre -Pi/2 et +Pi/2 . On considère le cercle Gamma déquation polaire r = 2cos(Théta-Phi)/cos(Phi);
Déterminer le centre de et montrer que passe par deux points indépendants de dont lun est le point O et lautre un point S dont on précisera les coordonnées. Que représente ce point pour la courbe (L)?
3°) On se propose détudier les points communs à (L) et à (Gamma).
a)Ecrire une équation donnant un angle polaire dun tel point et la résoudre.
b)En déduire que, sauf dans un cas particulier que lon précisera, (L) et (Gamma) ont , outre S, trois points communs .
Montrer que ces trois points communs forment un triangle équilatéral.
J'ai réussi à faire les 2 premières questions mais je bloque à la 3. L'équation consiste elle bien à écrire 2/(1+2cos(Théta)=2cos(Théta-Phi)/cos(Phi) ? Si oui, comment la résoudre? J'ai pensé à poser cos(Théta)=X mais je n'arrive à rien.
Merci bien :)
Points communs (coordonnées polaires)
5 messages
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par Ben314 » 30 Oct 2010, 18:23
Salut,
tout d'abbord une petite remarque : vu que tes "rayons"
ne sont pas forcémént positif, pour que deux courbes d'équations polaires respectives )
et )
se coupent, il faut (et il suffit) que =g(\theta))
ou bien que =-g(\theta))
Sauf que, ici, les deux équations disent... la même chose...
Bon, sinon, concernant ton équation, c'est passablement la m... (où alors je m'y prend mal !!!) :
}=\frac{2\cos(\theta-\varphi)}{\cos(\varphi)}\ <br />\Leftrightarrow\ <br />(1+2 \cos\theta)(\cos\theta \cos\varphi+\sin\theta \sin\varphi)=\cos\varphi\ <br />\Leftrightarrow\ <br />\sin\varphi\sin\theta(1+2 \cos\theta)=\cos\varphi(1-\cos\theta-2\cos^2\theta))
=\cos\varphi(1+\cos\theta)(1-2\cos\theta)\)
On pose
de façon à avoir 
et 
. L'équation est alors :
\right)\ =\ \cos\varphi\,\times\,2 \cos^2 \alpha\left(1-2(2\cos^2\alpha-1)\right))
Une première solution se présente :=0\ \Leftrightarrow\ \alpha\equiv\frac{\pi}{2}\ [\pi] \Leftrightarrow\ \theta\equiv \pi\ [\pi])
et, si \not=0)
, l'équation devient :
=\cos\varphi(3\cos \alpha-4\cos^3\alpha))
Or
et 
(Rappel : il suffit de développer ^3)
pour retrouver ce résultat) donc l'équation est :
=0 \Leftrightarrow\ <br />3\alpha-\varphi\equiv \frac{\pi}{2}\ [\pi]\ \Leftrightarrow\ <br />\frac{3}{2}\theta\equiv\varphi+\frac{\pi}{2}\ [\pi]\ \Leftrightarrow\ <br />\theta\equiv\frac{2}{3}\varphi+\frac{\pi}{3}\ [\frac{2\pi}{3}])
Ce qui fait bien trois solutions modulo
: 
; 
et 
.
tout d'abbord une petite remarque : vu que tes "rayons"
Sauf que, ici, les deux équations disent... la même chose...
Bon, sinon, concernant ton équation, c'est passablement la m... (où alors je m'y prend mal !!!) :
On pose
Une première solution se présente :
Or
Ce qui fait bien trois solutions modulo
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par StaNjie » 31 Oct 2010, 11:14
Merci bien Ben! En effet le calcul est un peu long mais il m'a l'air correct. Les résultats sont cohérents avec ce que je trouve graphiquement. Par contre, comment montrer que les 3 points communs forment un triangle équilatéral? J'ai essayé de montrer que pour chaque 
trouvé, les correspondants sont égaux mais je m'en sors difficilement avec les calculs. As-tu une autre idée? ou bien y a-t-il une astuce dans le calcul?
par Ben314 » 31 Oct 2010, 12:39
Au vu du dessin (GeoLabo) :
Le triangle semble plutôt centré en Q (centre du cercle Gamma) et, assez visiblement, on n'as pas OA=OB=OC.
Comme par construction les trois points sont sur Gamma, pour montrer que le triangle est équilatéral (et de centre Q) le plus simple semble être de montrer que les trois angles (orientés) (QA,QB), (QB,QC) et (QC,QA) valent tout les trois 2pi/3 ou 4pi/3.
Or, comme O appartient aussi au cercle Gamma, on sait (théorème de l'angle au centre) que (QA,QB)=2(OA,OB) [2 pi] et l'angle (OA,OB) est trivial à determiner vu ce que l'on sait.
Le triangle semble plutôt centré en Q (centre du cercle Gamma) et, assez visiblement, on n'as pas OA=OB=OC.
Comme par construction les trois points sont sur Gamma, pour montrer que le triangle est équilatéral (et de centre Q) le plus simple semble être de montrer que les trois angles (orientés) (QA,QB), (QB,QC) et (QC,QA) valent tout les trois 2pi/3 ou 4pi/3.
Or, comme O appartient aussi au cercle Gamma, on sait (théorème de l'angle au centre) que (QA,QB)=2(OA,OB) [2 pi] et l'angle (OA,OB) est trivial à determiner vu ce que l'on sait.
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