Points et alignement

par **tize** » 18 Déc 2006, 09:57

Bonjour,

un autre petit problème de math que j'ai eu à résoudre en licence (il y a donc quelques années...) :
Soit E un ensemble fini de points du plan tel que pour tout points distincts A et B de E il existe un troisième point C de E différent de A et B tel que

. Les points de E sont-ils nécessairement tous alignés ?
En espérant qu'il ait plus de succès que mes triangles et couleurs... :we:

par **fahr451** » 18 Déc 2006, 13:10

E cet ensemble
En les supposant pas alignés
en regardant l'enveloppe convexe de E en prenant A un sommet et deux arrètes distinctes de l enveloppe partant de A en considérant B et C dans E sur chaque arète à une distance minimale (pour chaque arrète) de A, on doit trouver un point D de E sur [BC] et qui serait à une distance de A strictement plus petite que B ou C .

par **fahr451** » 18 Déc 2006, 13:36

l ensemble E de ces points est inclus ds une droite
sinon en prenant un point de E à une distance d minimale des droites formées par les points de E ( droites sur lesquelles il n 'est pas) on construirait un point de E à une distance d'une droite, inférieure à d ( j ai le dessin )

pour un nombre dénombrable on peut en revanche (quadrillage)

par **tize** » 18 Déc 2006, 19:06

Oui c'est ça, il s'agit du théorème de Sylvester-Gallai que l'on peut trouver ici
Quand Joseph Sylvester l'a énoncé en 1893, il a dit que ce problème est d'une grande difficulté et qu'il risquait d'être plus long à montrer que la conjecture de Riemann...Il a été montré de manière très simple par Gallai en 1940 mais malheureusement M. Sylvester n'était déjà plus de ce monde pour le voir...

par **yos** » 18 Déc 2006, 19:56

L'argument de Fahr me laisse sur ma faim.

par **fahr451** » 18 Déc 2006, 20:45

alors (je ne sais pas faire les dessins c est bien dommage)

Mais {d(M,D) ; M dans E , D droite passant par deux points de E , M pas sur D } est un ensemble fini donc admet un min soit A dans E et D réalisant ce min soit alpha cette distance

D = ( MN) avec MN dans E il existe O dans E différent de M et N sur (MN)
en faisant un dessin (sic) dans le triangle ( M,A,N) la hauteur issue de A coupe (MN) en A'; et O est d'un côté ou de l'autre de A' (éventuellement confondu avec A')ce qui fait que O est à une distance inférieure stricte à alpha de (AM) ou (AN) ce qui contredit la définition de alpha.

par **yos** » 18 Déc 2006, 20:51

fahr451 a écrit:O est à une distance inférieure stricte à alpha de (AM) ou (AN) .

Pourquoi ça?
J'ai mis A' entre M et N. Si O est du côté de M, mais assez loin, sa distance à (AM) est grande. Un truc m'échappe!

par **fahr451** » 18 Déc 2006, 20:56

ds ce cas de figure en partant de O = M jusqu' à O = A' la distance de 0 à (AM)augmente donc le pire c 'est pour 0 = A' et ds ce cas la distance est celle entre A' et son projeté ortho sur (AM) qui est inférieure à celle entre A et A' qui vaut alpha

par **yos** » 18 Déc 2006, 21:04

O est forcément entre M et N ??

par **fahr451** » 18 Déc 2006, 21:05

quitte à renommer O , M , N oui

par **yos** » 18 Déc 2006, 21:16

ach so !!!!

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