Point optimal d'un fermé

[Impiger]

Bonjour
je bute sur une question de mon DM , qui semble assez détachée du reste, et en fait je ne suis même pas convaincu de ce qu'on doit montrer.

On rappelle que x* est un point optimal de f sur une partie V non vide de R^n si f présente un minimum absolu en x* : quel que soit x appartenant à U, f(x) >= f(x*)

Soit U fermé non borné (éventuellement R^n, et f est une fonction continue de U dans R.
On suppose que lim f(x) = + inf quand ||x|| -> + inf.

Montrer que f admet au moins un point optimal.

Je ne comprends pas pourquoi on aurait forcément un minimum : si on prend simplement y=x, on a bien qqc qui tend vers + inf et qui n'a pas de minimum.
Après je me doute bein que tout est un problème de rédaction avec des histoires de boules, mais j'ai du mal à visualiser la trame de la démo.

Merci de votre aide

[Sylviel]

Ta fonction ne tends pas vers +oo quand x tends vers -oo...

Considère un sous ensemble de niveau non vide. i.e: un ensemble du type {x\in U | f(x)Et essaie de voir ce que tu peux dire dessus...

[arnaud32]

signifie que


prends par exemple M=1

[Impiger]

Ah d'accord, je vois àpeu près ce qu'onattend. Mais je pensais qu'il fallait utiliser des arguments de topologie... Par contre je ne vois pas quoi sert finalement l'hypothèse que U soit fermé ?

[Maxmau]

Ah d'accord, je vois àpeu près ce qu'onattend. Mais je pensais qu'il fallait utiliser des arguments de topologie... Par contre je ne vois pas quoi sert finalement l'hypothèse que U soit fermé ?

Bj
Une application réelle continue sur un compact (ici un fermé borné) admet sur ce compact une valeur minimum et une valeur maximum

[Sylviel]

Je ne sais pas comment tu as fait, mais il faut effectivement utiliser des arguments de topologie...