Point d'intersection de 2 courbes

[VinceSSJ]

Bonjour à tous,

après moultes recherches, je me décide à venir poster sur ce forum pour un exercice que je n'arrive pas à résoudre.

Voici l'énoncé :

"Trouvez les angles aigus d'intersection des courbes 1) (définie par la fonction f:y²=4x) et 2) (définie par g:2x²=12-5y)."

Pour les angles, je pense pouvoir m'en sortir puisque j'ai vu la formule en cours.

Par contre, ça coince pour trouver le point d'intersection de ces 2 courbes.
Je sais qu'il faut poser f=g, mais hélas, même en posant un système (substitution,...), j'arrive toujours à des équation que je nais pas résoudre (semblant de polynome mais 2degrés d'écart entre les 2 prmiers membres).

J'ai vu sur les graphes que x=2 est la solution, mais j'arrive pas à la retrouver par calculs.

Alors, ai-je de la crotte dans les yeux, ou est-ce réellement complexe ?

Merci d'avance de vos réponses :we:

[nodgim]

Il y a déja au moins un point d'intersection évident!

[VinceSSJ]

Il y a déja au moins un point d'intersection évident!

Mais est ce que ça suffit de dire que 2 est une solution évidente ?
J'ai des doutes...

[nodgim]

Mais est ce que ça suffit de dire que 2 est une solution évidente ?
J'ai des doutes...

Non mais ça aide bien!
La seconde solution est aussi évidente :id:
Car il y a bien 2 solutions, n'est ce pas?

[nodgim]

Sinon, l'équation est:
2*(y^4/16)+5y-12=0
qui donne y^4 + 40y -96=0

Et là la solution évidente apparait

[VinceSSJ]

Sinon, l'équation est:
2*(y^4/16)+5y-12=0
qui donne y^4 + 40y -96=0

Et là la solution évidente apparait

J'ai aussi trouvé ça, mais n'y a-t-il pas un moyen "calculatoire" de trouver cette racine ?
Je suis totalement d'accord avec toi, mais j'ai bien peur que si le prof m'envoie au tableau je paraisse ridicule en disant "c'est évident" devant du degré 4 xD

Enfin bon tu as surement raison.

Quant à la deuxième solution, je ne l'aperçois pas.
D'après précedemment, et d'aprés le graphe, le point d'intersection est en (1;2), mais je n'en vois pas d'autre.. :doh:

[busard_des_roseaux]

Non mais ça aide bien!
La seconde solution est aussi évidente :id:
Car il y a bien 2 solutions, n'est ce pas?

effectivement , 2 et -4 sont solutions.
On peut ensuite effectuer la division euclidienne de par

[nodgim]

J'ai aussi trouvé ça, mais n'y a-t-il pas un moyen "calculatoire" de trouver cette racine ?
Je suis totalement d'accord avec toi, mais j'ai bien peur que si le prof m'envoie au tableau je paraisse ridicule en disant "c'est évident" devant du degré 4 xD

Enfin bon tu as surement raison.

Quant à la deuxième solution, je ne l'aperçois pas.
D'après précedemment, et d'aprés le graphe, le point d'intersection est en (1;2), mais je n'en vois pas d'autre.. :doh:

Tu as d'abord affaire à une équation de 4ème degré. As tu déja essayé d'en résoudre une quelconque, sans racine apparente ? C'est faisable, mais fastidieux. Pas beaucoup d'intérêt en fait. Donc, il faut tenter la racine facile. J'ai au préalable tracé succintement les courbes, ça donne une bonne approximation de l'emplacement et du nombre de solutions.
Quand tu as trouvé la 1ère racine, tu fais la division euclidienne par (x-racine) et ton équation descend d'un degré. Là encore, la résolution du 3ème degré n'est pas une partie de plaisir, donc essayer encore de trouver une racine évidente.

[nodgim]

effectivement , 2 et -4 sont solutions.
On peut ensuite effectuer la division euclidienne de par

Quel intérêt ? Il n'y a pas de 3ème solution. :doh:

[busard_des_roseaux]

Quel intérêt ? Il n'y a pas de 3ème solution. :doh:

ah d'accord, je ne le savais pas. ça se montre dans ce cas car le quotient obtenu est un trinôme de

[VinceSSJ]

Re à tous,

j'ai lu vos réponses, et j'ai réussi à résoudre l'équation en suivant + ou - vos conseils.

J'ai dabord posé le système des 2 équations, puis après avoir exprimé y en fonction de x, je suis arrivé à :

y^4+40y-96=0


Après avoir très longuement cherché, j'ai réussi à trouver y-2 comme facteur commun.
ce qui donne :

y^4-16+40y-80=0

<=> (y²+4)(y²-4) + 40(y-2)
<=> [(y²+4)((y-2)(y+2)] + 40(y-2)


D'où
<=> (y-2)[(y²+4)(y+2) + 40]
<=> (y-2)(y^3+2y²+4y+48)

Puis en factorisant le polynome par x-"racine évidente",
j'ai trouvé :

<=> (y-2)(y+4)(y²-2y+12)=0

Les solutions sont donc bien 2 et -4 (le plynome de degré 2 n'ayant pas de solutions réelles)

Les points d'intersection sont donc (1;2) et (4;-4)



En utilisant la formule :

tan alpha = (f'(a)-g'(a))/(1+f'(a)g'(a))
(puis en utilisant arc tan pour trouver la valeur de l'angle)

j'arrive à ces angles :
* 33° au point (1;2)
* 69° au point (4;-4)


Vous confirmez ou est ce que je me suis trompé quelque part ?