Point fixe

[zork]

Bonjour

Soit f une fonction dérivable de [a,b] dans R. Soit c un point fixe de f tel que |f'(c)|>1 alors c est un point fixe répulsif.

Quelle est l'idée de la démo pour montrer que si |f'(c)|>1 alors c est répulsif?

merci

[paquito]

on a: , avec strictement compris ente et (égalité des accroissements finis), donc puisque vérifie le théorème des valeurs intermédiaires et est même en général continue, il existe tel que si ; donc si différent de est dans
, on aura et donc

, donc l'idée, c'est que si un terme se rapproche trop près de c, le suivant s'éloignera de c, ce qui empêche toute convergence. Ce n'est pas très facile à mettre en forme, mais l'idée est là.

Exemple: et est répulsif et attractif; cette suite convergera toujours vers (et même très vite car)

Si on prend on aura encore un autre cas puisque ;

En fait le cas attractif est bien plus simple!

[BiancoAngelo]

Bonjour

Soit f une fonction dérivable de [a,b] dans R. Soit c un point fixe de f tel que |f'(c)|>1 alors c est un point fixe répulsif.

Quelle est l'idée de la démo pour montrer que si |f'(c)|>1 alors c est répulsif?

merci

Salut,

Il faut donner une définition à "répulsif", non ?

Je dirais par exemple, si je me situe proche de c mais pas en c, alors l'image de ce point par f m'amène plus loin de c...
Après, tout dépend répulsif pour qui, pour ceux proches de c, ou tous les points de [a;b]...

si je traduis ce que j'ai écrit.

Ou :



Et il y a le lien direct avec la dérivée dans cette expression... Ca fait penser aux accroissements finis...

EDIT : grillé à deux minutes près pfff :zen:

[BiancoAngelo]

vérifie le théorème des valeurs intermédiaires et est même en général continue

On peut prendre quoi comme fonction continue et dérivable mais de dérivée non continue ?
J'ai encore du mal à voir ce que ça pourrait être.

Car ce qui me fait penser au fait que la dérivée n'est pas continue, c'est qu'il y a une "cassure de pente"... donc pas dérivable (au sens fort, pas "ou à gauche ou à droite").

Donc sur les fonctions à 1 seule variable, est-ce possible ?

[paquito]

Salut,

Il faut donner une définition à "répulsif", non ?

Je dirais par exemple, si je me situe proche de c mais pas en c, alors l'image de ce point par f m'amène plus loin de c...
Après, tout dépend répulsif pour qui, pour ceux proches de c, ou tous les points de [a;b]...

si je traduis ce que j'ai écrit.

Ou :



Et il y a le lien direct avec la dérivée dans cette expression... Ca fait penser aux accroissements finis...

EDIT : grillé à deux minutes près pfff :zen:

Pas grillé quand même! :ptdr: l'idée est la même; mais le problème peut être varié; par exemple avec arctan, si on part de 5, ça décroit puis ça ne bouge plus alors qu'on est encore loin de 0!!!

[BiancoAngelo]

Pas grillé quand même! :ptdr: l'idée est la même; mais le problème peut être varié; par exemple avec arctan, si on part de 5, ça décroit puis ça ne bouge plus alors qu'on est encore loin de 0!!!

Oui... ! :we:

D'ailleurs, pour parler des fonctions aux dérivées non continues, si on prend :

Soit pour et .

On a

Et là, on peut pas utiliser la continuité de la dérivée... et même pour les accroissements finis, comme la dérivée prend de grandes valeurs mais aussi zéro, des fois...

[paquito]

Oui... ! :we:

D'ailleurs, pour parler des fonctions aux dérivées non continues, si on prend :

Soit pour et .

On a

Et là, on peut pas utiliser la continuité de la dérivée... et même pour les accroissements finis, comme la dérivée prend de grandes valeurs mais aussi zéro, des fois...

les fonctions dérivées vérifient le théorème des a.f. même si elles sont discontinues, ce qui ne donne pas une solution à ton problème, mais donne un cas de plus à étudier!! :marteau:

[BiancoAngelo]

les fonctions dérivées vérifient le théorème des a.f. même si elles sont discontinues, ce qui ne donne pas une solution à ton problème, mais donne un cas de plus à étudier!! :marteau:

Ah mais je suis d'accord ! Je n'apporte pas de solution :we:
Je dis juste ça par rapport à :

il existe tel que si

Dans un cas tordu, faudrait trouver une fonction dont la dérivée serait supérieure à 1 (en valeur absolue) "loin" de la valeur du point fixe, tu me suis ?

Concrètement, ça signifierait que ce point est répulsif seulement quand on est "loin", non ?
Imaginons en plus que ce "loin" soit en dehors de l'intervalle de travail [a;b]... Ca ne fonctionnerait plus.

Du coup, est-ce que ça veut dire qu'il est impossible d'avoir une fonction dérivable sur [a;b] tel qu'il existe un unique c tel que et partout ailleurs et que c, en plus d'être un point fixe, ne soit pas répulsif ? :ptdr: :marteau: :ptdr:

Oulala... C'était juste l'idée, de pousser la démonstration jusqu'au cas des dérivées non continues en supposant qu'il existe une unique valeur supérieure à 1, à savoir, en ce point fixe...

[paquito]

Pour moi, si tu prend le cas rarissime d'une dérivée non continue en un de ses points fixe on vas avoir un problème du type:" tu avances ou tu recules, comment veux tu , comment veux tu que je....."

Sinon |f(c)|>1 et| f'(x)|1 et| f'(x)|<1 partout ailleurs [/TEX], c'est impossible

[BiancoAngelo]

Pour moi, si tu prend le cas rarissime d'une dérivée non continue en un de ses points fixe on vas avoir un problème du type:" tu avances ou tu recules, comment veux tu , comment veux tu que je....."

Sinon |f(c)|>1 et| f'(x)|1 et| f'(x)|1 et| f'(x)|<1 [/TEX]partout ailleurs, c'est impossible.

Je veux bien le croire, j'aimerais en avoir le coeur net.
Pour le démontrer, est-ce qu'on peut dire que :

Pour une notion de dérivée, on est forcé de travailler sur un intervalle de longueur non nulle, sinon ça n'a pas de sens.

Soit I un intervalle ]a;b[ sur lequel la dérivée de f existe en tout point (ie la fonction f est dérivable sur I).

On note .

Alors E ne peut pas avoir de point isolé..., voilà ce qu'il faut démontrer. (c'est ça qui finalement me paraît délicat).

Ce que je comprends alors, c'est que la dérivée, si elle est discontinue, alors sa valeur au point de discontinuité doit nécessairement appartenir à l'adhérence de I...

Ce qui expliquerait par ailleurs pourquoi le théorème des a.f. fonctionne aussi pour les dérivées discontinues...

[paquito]

Effectivement une dérivée qui prend une valeur 1 prendra obligatoirement la valeur 1; le seul cas de discontinuité pour une dérivée c'est quand existe et que n'a pas de limite en (tu as donné un exemple); sinon on démontre (accroissements finis) que .

D'autre part, on démontre que toutes les dérivées vérifient le théorème des v.i.; la démonstration n'est pas difficile, mais repose sur une fonction auxiliaire que je n'ai plus en tête ( je vais rechercher). en résumé les fonctions dérivées sont très régulières.

[paquito]

J'ai regardé un autre cas: on a , on a ce qui donnera , mais comment prouver que diverge vers ?

[BiancoAngelo]

J'ai regardé un autre cas: on a , on a ce qui donnera , mais comment prouver que diverge vers ?

Ok d'acc Ca fait bizarre, car au lycée on nous parle du taux d'accroissement pour définir la dérivée, mais on ne parle pas trop des cas étranges...
Comme j'ai loupé une partie de la fin de ma licence de maths, la dérivabilité m'échappe un peu, même si j'essaie de rattraper ça vite.
En tout cas, se dire que la dérivée existe, même que c'est dérivable, à savoir que f(x) existe, mais que la limite f(t) quand t tend vers x n'existe pas, c'est déroutant. Ça sort complètement de l'intuition de base.
Ça rend du coup tout ce bazar super intéressant !

Sinon pour la fonction que tu donnes, tu prends n'importe quel et l'objectif est de montrer que ça tend toujours vers l'infini ?

Et tu prends ce cas car on a 0 comme point fixe répulsif ?

[paquito]

Bonjour Angelo,

Bizarrement, il est parfois plus difficile de montrer qu'une suite diverge que de montrer qu'elle converge; je prends un exemple où ça va bien:

et, donc et pour ; tu as avec et ;

on en déduit et puisque, la divergence de vers . en fait, je n'ai pas choisi la méthode la plus simple et par exemple on ne pourrait plus faire ça en T°S.

Si je prends, la méthode précédente tombe à l'eau car , mais on arrive à montrer que pour ; on en déduit que est croissante; comme n'a pas d'autre point fixe que, ne peux pas être convergente et donc diverge vers . Mine de rien, ça fait un bon petit exo et ce raisonnement par l'absurde est applicable à l'exemple précédent.

Sinon, on ne nous parle pas de ça au lycée et pas plus à la fac; personnellement, c'est en préparant l'agrégation que j'ai comblé pas mal de lacunes, par exemple: comment on démontre que si f est continue sur .

Enfin, si l'on prendet , si l'on prendon constate que ça diverge, aussi, mais , ça converge vers 0, c'est à dire qu'on a un point fixe ni répulsif, ni attractif donc c'est le bordel!!!

[BiancoAngelo]

Bonjour Angelo,

Bizarrement, il est parfois plus difficile de montrer qu'une suite diverge que de montrer qu'elle converge; je prends un exemple où ça va bien:

et, donc et pour ; tu as avec et ;

on en déduit et puisque, la divergence de vers . en fait, je n'ai pas choisi la méthode la plus simple et par exemple on ne pourrait plus faire ça en T°S.

Si je prends, la méthode précédente tombe à l'eau car , mais on arrive à montrer que pour ; on en déduit que est croissante; comme n'a pas d'autre point fixe que, ne peux pas être convergente et donc diverge vers . Mine de rien, ça fait un bon petit exo et ce raisonnement par l'absurde est applicable à l'exemple précédent.

Sinon, on ne nous parle pas de ça au lycée et pas plus à la fac; personnellement, c'est en préparant l'agrégation que j'ai comblé pas mal de lacunes, par exemple: comment on démontre que si f est continue sur .

Enfin, si l'on prendet , si l'on prendon constate que ça diverge, aussi, mais , ça converge vers 0, c'est à dire qu'on a un point fixe ni répulsif, ni attractif donc c'est le bordel!!!

Salut paquito, merci pour ces bons exemples.

En tout cas, c'est quand même agréable de se dire qu'il y a des cas où ce n'est pas stable, qu'on doit faire de l'étude locale pour démontrer les choses, car si on devait toujours tout démontrer à gros coup de canon... :ptdr:

Bizarrement, zork n'a pas réagi suite à nos réponses, pourtant ça fait un bon article pour agrémenter sa question :we:

[paquito]

Tu as raison, on a un peu approfondit la question et ça s'avère intéressant, mais bon......
Sinon, c'est vrai que quand il faut chercher un petit peu, c'est plus satisfaisant que d'appliquer sans réfléchir un résultat de cours :dodo:

Il y a d'autres cas qui sont pas mal non plus comme celui ci donné au concours général:

étudier la convergence de la suite définie par U_0 \geq 0 et .

Cette fois ci, en faisant quelques essais, on se rend compte que U_n doit converger vers 1, mais pour des valeurs de assez petites commence par être croissante, ce qui crée la difficulté de l'exercice; si ça t'amuse.... :ptdr:

[BiancoAngelo]

Tu as raison, on a un peu approfondit la question et ça s'avère intéressant, mais bon......
Sinon, c'est vrai que quand il faut chercher un petit peu, c'est plus satisfaisant que d'appliquer sans réfléchir un résultat de cours :dodo:

Il y a d'autres cas qui sont pas mal non plus comme celui ci donné au concours général:

étudier la convergence de la suite définie par U_0 \geq 0 et .

Cette fois ci, en faisant quelques essais, on se rend compte que U_n doit converger vers 1, mais pour des valeurs de assez petites commence par être croissante, ce qui crée la difficulté de l'exercice; si ça t'amuse.... :ptdr:

Effectivement cette suite, ce n'est pas du gâteau :ptdr:

J'ai pu trouver un résultat proprement : implique .

L'autre résultat, plus intéressant, qui reste à démontrer, que j'ai pu trouver grâce à des tracés graphiques :

et la suite resterait alors décroissante.

[paquito]

Effectivement cette suite, ce n'est pas du gâteau :ptdr:

J'ai pu trouver un résultat proprement : implique .

L'autre résultat, plus intéressant, qui reste à démontrer, que j'ai pu trouver grâce à des tracés graphiques :

et la suite resterait alors décroissante.

c'est un peu plus compliqué! personnellement,je pensais qu'une démonstration directe aboutirait;que nenni, ii faut faut faire autre chose!

[paquito]

Salut,

personnellement, je suis resté sur une démo directe et impossible d'aboutir!
Ce que l'on peut montrer, c'est que a partir du rang, donc on peut considérer que est minorée par 1 qui devient la seule limite possible;

d'autre part si pour un entier , on a, on aura et à fortiori soit et sera décroissante à partir du rang .

Il n'y a donc que 3 cas possibles:

(1) est décroissante et minorée par 1 :ptdr:
(2) est unimodale ( d'abord croissante, ensuite décroissante) et minorée par 1 :ptdr:
(3) est croissante :mur:

il y a un cas à éliminer; je te laisse le plaisir de le faire.

[BiancoAngelo]

Salut,

personnellement, je suis resté sur une démo directe et impossible d'aboutir!
Ce que l'on peut montrer, c'est que a partir du rang, donc on peut considérer que est minorée par 1 qui devient la seule limite possible;

d'autre part si pour un entier , on a, on aura et à fortiori soit et sera décroissante à partir du rang .

Il n'y a donc que 3 cas possibles:

(1) est décroissante et minorée par 1 :ptdr:
(2) est unimodale ( d'abord croissante, ensuite décroissante) et minorée par 1 :ptdr:
(3) est croissante :mur:

il y a un cas à éliminer; je te laisse le plaisir de le faire.

Pour l'instant, je galère... Je n'arrive pas à montrer qu'elle ne peut pas rester croissante...