Point fixe répulsif

[jeje56]

Bonjour à tous,
La suite est définie par .
Je cherche à déterminer si converge ou non vers 2, point fixe de .
Puisque , converge vers 2 si et seulement si à partir d'un certain rang.
Comment conclure, sachant que est quelconque ?...
Merci de votre aide !

[LB2]

Bonjour,

as tu résolu l'équation g(x) = 2 ?

[Black Jack]

Salut,

x(n+1) - x(n) = -16 + 6x(n) + 12/x^n - x(n)

x(n+1) - x(n) = -16 + 5x(n) + 12/x^n

x(n+1) - x(n) = 5.(x(n)-2).(x(n)-1,2)/x(n)

Tableau de signes de x(n+1) - x(n) ... permet de dire que :

Si un x(n) < 0, x(n+1) - x(n) < 0 et donc x(n) décroît ... et tous les x(n) suivant seront < 0 (donc ne converge pas vers 2 si x(0) < 0)
Si un x(n) > 2, x(n+1) - x(n) > 0 et donc x(n) croît ... et tous les x(n) suivant seront > 2 (donc ne converge pas vers 2 si x(0) > 2)
Pour 0 < x(o) < 2, cela dépend ...

[jeje56]

Très bien, merci à tous les deux.

[jeje56]

Bonjour à tous,
Je reviens sur notre suite récurrente définie par .
Supposons . Est-il possible de déterminer les rendant stationnaire ?
En résolvant (2 point fixe) de solutions 1 et 2 puis etc. Peut-on savoir si ce nombre de est fini ?
Merci de votre aide !

[LB2]

Bonjour,

c'est une très bonne question. Il me semble qu'il y en a un nombre infini mais dénombrable, car on peut les compter en "remontant" le cours de la dynamique : il y a 2^n valeurs initiales qui tombent sur x=2 en n itérations de la fonction g.

Cela forme une sorte d'arbre fractal ou chaque branche se divise en deux.

En effet, si on résout g(x)=1, on trouve 3/2 et 4/3, puis si on résout g(x)=3/2 on trouve ... et ..., et g(x)=4/3 on trouve ... et ...., et ainsi de suite.

[jeje56]

Merci LB2
Question peut-être naïve : est-on assuré que l'équation g(x)=k où 0<x<2 admet toujours deux solutions ?
Et k ? ]0;2[ n'est pas stable par g...

[LB2]

Il suffit de tracer pour cela le graphe de g