Point fixe (Picard)

[ludo56]

Bonjour,

Soit g(t) = t+pie/2 - arctan(t) allant de R dans R.
J'ai montré que |g'(t)|<1 et donc d'après le TAF que pour x different de y |g(x)-g(y)|<|x-y|.
Je bloque sur la question b qui demande si g admet un point fixe...Merci!

Par ailleurs je suis interessé par n'importe quels exemples ou contre exemples ainsi que applications concernant le point fixe de picard! Merci

[fatal_error]

Salut,

la def d'un point fixe c'est les x tels que f(x)=x
ici tu cherches donc les t tels que

[Ben314]

Bonjour,
Comme "t point fixe de g" est équivalent à "g(t)-t=0", tu pourrait étudier la fonction t->g(t)-t
(variations...)
Pour le th. du point fixe de picard,... je ne connais pas, désolé

P.S. encore grillé....

[ludo56]

Merci bien a vous deux!

[zephira]

theoreme de banach picard:
Si E est un espace metrique complet et f une contraction de E (f de E->E et f k lipschitzienne avec 0<k <1). Alors f admet un unique point fixe ie un point x de E tq f(x) = x. *
Tu ne peux pas l'appliquer ici car meme si R est complet ta fonction n'est pas contractante. Tu pourrais l'appliquer a la suite de fonctions fn = (1-1/n)*f. Malheuresement R n'étant pas compact la convergence de la suite des points fixe des fn vers x tq f(x) = x n'est pas assurée.
Le mieux reste de résoudre arctan X = pi/2 soit X = tan pi/2 qui n'a pas de solutions dans R mais dans R barre. car la solution est x = +inf