Voilà j'ai 2 exercices sur les points critiques dont celui là et j'aimerais avoir vos avis sur ma réponse.
qu'en pensez vous ?
Enoncé :
f(x,y) = 1/2x²y - xy + x² - 2x + y² définir sur R²
1) Calculer les dérivées partielles df/dx, df/dy, d²f/d²x, d²f/d²y, d²f/dxdy, d²f/dydx, d²f/dy²
2) vérifier que df/dx s'annule pour x = 1
en factorisant montrer que df/dx s'annule pour y = a, où a est une valeur que l'on précisera
Quand x = 1 calculer df/dy et préciser pour quelle valeur de y on a df/dy(1, y)=0
quand y = a calculer df/dy et préciser les deux valeurs de x pour lesquelles on a df/dy(x,a) = 0
3) vérifier que f admet 3 points critiques, examiner la nature de chacun de ses points.
Réponse :1)
f / x = xy y + 2x 2f / y = ½ x² - x + 2y²f / ²x = y + 2²f / ²y = 2²f / x;)y = x 1²f / y;)x = 0Vérifier que
f / x sannule pour x = 1f / x = xy y + 2x 2 y(x 1) + 2(x 1) = 0 Montrer que
f / x = xy y + 2x 2 sannule pour y = ay(x 1) + 2(x 1) = 0 y = -2(x-1)/(x-1) y = -2
Pour x = 1 calculer
f / y = ½ x² - x + 2y.f / y (1,y) = ½ - 1 +2y f / y (1,y) = -1/2 + 2yf / y (1,y) = 0 pour y = 1/4Pour y = a calculer
f / y et préciser les 2 valeurs de x pour lesquelles on a f / y (x,a) = 0.Déterminant = (-1)² - 4(1/2 * 2y) 1 4y.
3 possibilités :
1 4y > 0, et donc y ¼ par conséquent pas de racines
1er cas : x1 = 1 - racine(1 - 4y) et x2 = 1 + racine(1 - 4y)
2ème cas : -(-1) / (2*1/2) = 1 = x
Précédemment nous avons déterminer que pour x = 1 et y = ¼
f / y sannulait.Et quand y = 0 et C >= 0 donc le point est un minimum.
(4, -2)
½[0 + 3hk + 2k²]
Discriminant = 9, donc point col
(-2, -2)
½[ 0 - 3hk + 2k² ]
Discriminant = 9, donc point col
