Point critique d'une fonction à plusieurs variables

[mamas67]

Bonjour,

On a f(x,y)=xy, avec (x,y) appartenant a R².
On veut optimiser f sous la contrainte C définie sur R² par g(x,y)=8, où g(x,y)=x²+4y²

On me demande de montrer que les points critiques de f sous C sont exactement (2,1),(-2,-1),(-2,1), (2,-1)

Puisque C est une contrainte non-critique on sait que A=(x,y) est un pt critique de f sous C ssi :

x² + 4y²=8
H(f)(x,y)=lamba*H(g)(x,y) où H désigne le gradient

i.e
x²+4y²=8 L1
y=lambda*2x L2
x=lamba*8y L3


Mais là, je bloque, parce que dans L2 et L3, il y a du "y" et du "x" mélangés ...
J'ai bien essayé de substituer L1 et L2, mais je trouve à chaque fois x=y=0 ...
Si quelqu'un pouvait m'éclairer =]

[Manny06]

Bonjour,

On a f(x,y)=xy, avec (x,y) appartenant a R².
On veut optimiser f sous la contrainte C définie sur R² par g(x,y)=8, où g(x,y)=x²+4y²

On me demande de montrer que les points critiques de f sous C sont exactement (2,1),(-2,-1),(-2,1), (2,-1)

Puisque C est une contrainte non-critique on sait que A=(x,y) est un pt critique de f sous C ssi :

x² + 4y²=8
H(f)(x,y)=lamba*H(g)(x,y) où H désigne le gradient

i.e
x²+4y²=8 L1
y=lambda*2x L2
x=lamba*8y L3


Mais là, je bloque, parce que dans L2 et L3, il y a du "y" et du "x" mélangés ...
J'ai bien essayé de substituer L1 et L2, mais je trouve à chaque fois x=y=0 ...
Si quelqu'un pouvait m'éclairer =]

en égalant les valeurs de lambda on obtient y²=x²/4 en reportant dans la contrainte on obtient x

[mamas67]

non, c'est bon j'ai compris =)
Merci