Plus petit sous anneau

[superkader5]

Soit a un nombre réel non nul. On note Q[a] l'ensemble des réels de la forme P(a) où P(X) est un polynôme de Q[X].

Après avoir démontré que Q[a] était un sous anneau de R contenant Q et a, je n'arrive pas a montrer que c'est le plus petit contenant Q et a.

Est ce que quelqu'un peux m'aider svp? merci d'avance.

[vincentroumezy]

Salut.
Pour montrer que c'est le plus petit, as tu essayé de prendre un sous-anneau A de R contenant Q et a, et de montrer que Q[a] est inclus dans A ?

[superkader5]

Salut.
Pour montrer que c'est le plus petit, as tu essayé de prendre un sous-anneau A de R contenant Q et a, et de montrer que Q[a] est inclus dans A ?

Oui, j'ai pris A un sous anneau contenant Q et a, je doit montrer que Q[a] est inclus dans A. Donc je prend un élément de la forme P(a) dans Q[a] et je doit montrer que P(a) est dans A. Après, je ne vois comment montrer le fait que c'est le plus petit.

[Nightmare]

As-tu réussi à montrer que P(a) est dans A?

Sinon, quelle est ta définition de "A est le plus petit sous-anneau contenant Q et a" ?

[superkader5]

As-tu réussi à montrer que P(a) est dans A?

Sinon, quelle est ta définition de "A est le plus petit sous-anneau contenant Q et a" ?

Je n'arrive pas à montrer que P(a) est dans A; je crois que je viens de trouver un élément de réponse :
comme a appartient à A alors P(a) = ( appartient à A car A est un sous anneau.

[Nightmare]

En quoi le fait que A soit un sous-anneau te permet de conclure quant à l'appartenance de ta somme à A?

[superkader5]

En quoi le fait que A soit un sous-anneau te permet de conclure quant à l'appartenance de ta somme à A?

Oui, comme A est un sous anneau, pour deux éléments de A le produit des deux est dans A et A est un sous groupe pour l'addition dans la somme est dans A.

[Nightmare]

Je suis d'accord. Ensuite?

[superkader5]

Je suis d'accord. Ensuite?

Ensuite cela prouve que Q[a] est inclus dans A et forcément ce Q[a] le plus petit sous anneau de R contenant Q et a.

[Nightmare]

Oui, à condition que tu sois bien convaincu de ton "et forcément [...]"

[superkader5]

Oui, à condition que tu sois bien convaincu de ton "et forcément [...]"

Oui je suis convaincu que c'est le plus petit :lol3: