Plans stables associés à une matrice

[matthieu45]

Bonjour,
je cherche une méthode générale simple pour déterminer les plans stables d'une matrice M=matrix([0,1,1],[1,0,1],[0,0,1]]).

j'ai entendu dire qu'on pouvait déterminer les sous espaces propres de la matrice transposée de M, mais je ne vois pas comment aboutir aux équations des plans.
Merci d'avance de votre aide.

[Joker62]

Dans un cadre euclidien, on peut donner une formulation duale : un hyperplan H est stable par l'endomorphisme u si et seulement si un vecteur normal à H est propre pour l'adjoint u*.

Voilà ça vient de là.

[matthieu45]

merci, ça je savais, mais en pratique, je ne vois pas comment l'appliquer.

[fahr451]

y a plus qu'à traduire ce qu'a dit joker

chercher les vecteurs propres u= (a,b,c) de tM

le plan d'équation xa+yb+zc=0 sera stable par M

[matthieu45]

merci j'ai compris dans le cas d'une matrice 3x3, mais pour une matrice 4x4 par exemple : M=matrix([[0,0,0,0],[1,0,0,0],[0,0,1,-1],[0,0,1,1]))

on a comme polynome caracteristique de transposée de M : X^2(X^2-2X+2)
donc le spectre(tM)={0} dans R
et le vecteur propre associé à 0, est (1,0,0,0)
mais dans ce cas là, comment déterminer l'équation du plan stable ?

[fahr451]

en dim 4 il ne faut pas prendre la tranposée pour un plan stable

le polyn^ome caractéristique de M est

X^2 (X^2 -2X+2)

1)déterminer le polynôme minimal
X(X^2 -2X +2) ou

X^2 (X^2-2X+2) ?

[matthieu45]

le polynome minimal est X^2(X^2-2X+2) et après ?

[fahr451]

un plan P stable par u ( l endo )
soit

contient un vecteur propre donc associé à 0 la matrice de la restrictionv de uà ce plan a une colonne nulle le deuxième coeff diagonal est vp c'est donc aussi 0 donc v^2 = 0 ce qui prouve que P est inclus dans Keru^2

or keru^2 est un plan et donc P = keru^2

soit ne contient pas de vecteur propre
la restriction v de u à P a u polynôme minimal qui divise celui de u et sans racine réelle c'est donc X^2-2X+2 donc P inclus dans ker (u^2-2u +2id)
qui est lui même un plan et égalité

il y a deux plans stables

[matthieu45]

bonjour,
je n'arrive pas à comprendre pourquoi la "matrice de la restriction v de u à ce plan P a une colonne nulle, et le deuxieme coeff diagonal est vp, c'est donc aussi v^2=0" ...

[fahr451]

on est dans le cas où le plan a un vecteur propre x

la seule valeur propre est 0 donc u(x) = 0
dans toute base de P de la forme (x , y) la première colonne de la matrice de v est nulle puisque v(x) = 0