Plan projectif

[mehdi-128]

Un dernier mot :
Tu peux utiliser (je ne sais pas si ça te parlera) la description de plan projectif correspondant à la définition que tu rencontreras peut-être plus tard et déjà évoquée par Ben314 :
L'ensemble des droites passant par est un plan projectif (dans ce plan projectif, un point est une droite de l'espace passant par , peut être dur à avaler, mais c'est la définition !). Notons ce plan projectif.
Il y a une injection de dans définie de la manière suivante : on envoie le point de sur la droite qui est un point de . Tous les points de sont atteints, sauf les droites passant par et parallèles à .
On complète le plan affine en un plan projectif en ajoutant une droite à l'infini dont les points correspondent aux directions de droite dans . Tu vas encore demander ce qu'est cette droite à l'infini. Cette question est sans objet, cette droite à l'infini est un ensemble qu'on ajoute à pour obtenir un plan projectif; cet ensemble n'est pas contenu dans l'espace affine de dimension 3.
On a maintenant une bijection de sur qui étend l'injection de dans déjà définie, en envoyant le point de à l'infini dans la direction de la droite sur la droite parallèle à passant par .
Cette bijection est un isomorphisme de plans projectifs. Je dis juste ce qu'est l'alignement de trois points , et de : ces trois points sont alignés si et seulement si les droites , et sont coplanaires.

J'avais lu que l'espace projectif est l'ensemble des droites de la forme : y=ax avec a appartenant à K*.

Mais honnêtement j'ai pas compris : L'ensemble des droites passant par O est un plan projectif (dans ce plan projectif, un point est une droite de l'espace passant par O.

Comment une droite peut être à la fois une droite et un point ?

[Robot]

J'avais lu que l'espace projectif est l'ensemble des droites de la forme : y=ax avec a appartenant à K*.

Tu as une nouvelle fois interprété de travers ce que tu as lu.

Mais honnêtement j'ai pas compris : L'ensemble des droites passant par O est un plan projectif (dans ce plan projectif, un point est une droite de l'espace passant par O.
Comment une droite peut être à la fois une droite et un point ?

C'est une définition : l'espace projectif P(E) associé à un espace vectoriel E (ici, l'espace affine de dimension 3 vectorialmisé en O) est l'ensemble des droites vectorielles de E. Par définition, un point de P(E) est une droite vectorielle de E.

C'est très bien d'être curieux en mathématiques. Mais, très franchement, cet échange me persuade que tu n'as pas encore la maturité mathématique suffisante pour aborder ces notions. Patience, ça viendra en persévérant dans tes études mathématiques.

[Ben314]

Comment une droite peut être à la fois une droite et un point ?

Tout simplement du fait qu'un point projectif est (par définition) une droite vectorielle.
De la même façon, une droite projective est (par définition) un plan vectoriel et, encore plus généralement, un (sous) espace projectif de dimension c'est (toujours par définition) un (sous) espace vectoriel de dimension .

Et, comme ce sont uniquement des définitions, il n'y a jusque là rien à démontrer.
Et si c'est les mots "point projectifs" et "droite projective", "sous epaces projectifs" qui te dérangent, tu n'a qu'à faire comme si c'était écrit "Ga", "Bu" "Zo" et "Meu" à la place : mathématiquement parlant, ça ne change évidement rien.
Sauf que, dés qu'on manipule un tant soit peu les bidules en question, on comprend que c'est on ne peut plus logique d'avoir choisi ces termes là (mais évidement, il faut manipuler pour s'en rendre compte).

Si tu veut commencer à manipuler, montre que :
1) Par deux points projectifs distincts d'un espace projectif quelconque (i.e. de dimension quelconque et sur un corps K quelconque) il passe une droite projective et une seule.
2) Deux droites projectives distinctes d'un même plan projectif (sur un corps K quelconque) sont forcément sécantes en un unique point projectif.

[Robot]

Tu as une drôle de façon de faire tes citations, Ben 314.

[Ben314]

Tu as une drôle de façon de faire tes citations, Ben 314.

Désolé... (j'ai rectifié)
En plus, ça fait plusieurs fois que je la fait celle là d'enlever que la moitié des [quote...] du début

[mehdi-128]

Pour répondre, je suis loin d'être nul en maths, j'ai passé les concours, j'ai eu plus de 10/20 aux épreuves CCP de mathématiques, pareil pour les concours e3a ...
J'avais du mal avec la topologie parfois (très abstrait), mais en général je comprenais globalement.
L'algèbre ça allait aussi.
Par contre, en analyse j'étais très à l'aise.

Juste que depuis le début je comprends absolument rien à ce plan projectif et encore moins les points à l'infini donc ça m'énerve et comme je comprends pas la base du truc, je comprends pas le reste et ça m'énerve encore plus.

[mehdi-128]

Merci Ben !

Est-ce que c'est pareil que quand une droite traverse un plan ça donne un point ?
Que l'intersection de 2 plans est une droite ?
On peut faire cette analogie pour les plans projectifs ?

Je note tes exos, je vais y réfléchir, dès que je trouve quelque chose je le poste.

[mehdi-128]

Je suis reparti des bases.

Soit un espace vectoriel de dimension n+1 sur un corps K : ou

On définit sur la relation d'équivalence x ~ y si et seulement si :

tel que

J'ai montré que c'est une classe d'équivalence c'est assez facile.

L'ensemble des classes d'équivalence est appelé espace projectif de dimension n est noté
C'est l'ensemble des droites vectorielles de

Donc je peux l'écrire :

Question : pour n=0 que vaut ?

E1 est de dimension 1 donc est dimension 0 donc c'est un point.

Mais d'après la définition c'est l'ensemble des droites vectorielles de E1... Or E1 est de dimension 1. Exemple l'ensemble des réels. Donc E1 est une droite vectorielle.
L'ensemble des droites vectorielle d'une droite vectorielle ça veut dire quoi ?

[Doraki]

Donc je peux l'écrire :

non, ce que tu écris ne veut rien dire.
1. Les éléments de P(E(n+1)) ne sont pas des éléments de E(n+1) comme tu as l'air de l'écrire
2. Qui est x !?!?

Question : pour n=0 que vaut ?

E1 est un espace vectoriel de dimension 1 sur K.
P(E1) est l'ensemble des droites vectorielles de E1.
Une droite vectorielle de E1 c'est un sous-espace vectoriel de E1 qui est de dimension 1.
Dans E1 il y a 1 seule droite vectorielle, c'est E1.
Donc P(E1) est un ensemble à 1 seul élément, P(E1) = {E1}

[Ben314]

Question : pour n=0 que vaut ?

Et on peut même prendre n=-1 : l'espace vectoriel correspondant est de dimension -1+1=0 donc est égal à qui ne contient clairement aucune droite vectorielle donc il existe bel et bien un espace projectif de dimension =-1 et cet espace projectif est l'ensemble vide.

C'est clairement bien plus pratique qu'avec les sous espaces affines vu que l'intersection de deux sous-espaces affines n'est lui même un sous espace affine que si cette intersection est non vide alors qu'en projectif, l'intersection de deux sous espaces projectifs est toujours un sous espace projectif.

[Robot]

Ben314, Bourbaki n'est pas d'accord avec toi :

[Ben314]

On peut évidement déclarer que c'en est une (on peut toujours le faire...) mais il me semble tout aussi évident que, dés le départ, ça va déconner vu que tout sous espace affine possèdera un "sous espace vectoriel associé" sauf la variété "ensemble vide".
De plus, l'ensemble vide va être un sous espace affine alors que ça ne sera pas un espace affine (c.f. la définition donnée par Bourbaki la page précédente) : un peu étrange tout de même, non ?

Perso., j'aurais tendance à penser que tu y perd bien plus que tu y gagne (sauf erreur, tout ce que tu y gagne, c'est la stabilité par intersection, mais c'est quand même aux prix fort...)

[Robot]

Je voulais simplement expliciter le choix implicite que tu avais fait dans ton intervention, pour qu'un(e) éventuel(le) lecteur(trice) ne soit pas surpris en voyant des affirmations contraires à la tienne. Les Bourbaki, qui ne sont pas des guignols, ont fait le choix inverse du tien.
Attention d'ailleurs, Bourbaki ne dit pas qu'une intersection de variétés linéaires affines est un espace affine (contrairement à ce que tu écris). C'est une variété linéaire affine.
Que l'on fasse un choix ou l'autre, il y a quelque chose qui cloche, c'est inhérent à la situation affine. De ce point de vue, tu as raison de souligner que le cadre projectif est plus agréable.

[Ben314]

Après, on peut aussi tout à fait dire qu'il n'y a aucune contradiction entre ce que j'affirme et ce que raconte Bourbaki du fait qu'il ne parle pas de "sous espace affine" (ce qui ferait quand même très con vu que ce n'est pas forcément un espace affine), mais de "variété linéaire affine".
Et cette dernière expression a le bon gout de ne pas contenir les deux mots "espaces affines".

Bilan : on peut résumer la situation en disant qu'une "variété linéaire affine" est un "sous espace affine" ssi... elle est non vide.

EDIT : je viens de vérifier : il n'y a effectivement pas de définition des termes "sous espaces affine" dans les Bourbaki d'algèbre (Chapitre I à III) donc... ça roule...

[Robot]

Quelques bouquins de géométrie : pour Berger et Tauvel, un sous-espace affine est forcément non vide. Audin autorise même des espaces affines vides. Fresnel suit fidèlement Bourbaki.
On en peut donc pas dire qu'il y a une religion bien établie à ce sujet.