Plan affine

[theomatheco]

Bonjour,

Je suis actuellement en train d'essayer de faire passer la forme explicite de ce plan affine à une forme implicite.

Actuellement je suis arrivé à
x1 = 2λ - µ
x2 = µ + 1
x3 = λ + µ

et j'ai donc comme forme implicite x1 - 2*x3 +3*x2 = 3 mais quand j'essaye de faire la même opération dans le sens inverse je ne retrouve pas le même ensemble, est ce que quelqu'un peut me dire ce qui est faux dans mon calcul ?

Merci d'avance et bonne journée

[Rdvn]

Bonsoir,
Précisez ce que vous voulez dire par "sens inverse"
Il est bien possible que vous ayez simplement une autre représentation paramétrique du même
plan H
Proposez...

[theomatheco]

Quand je dis sens inverse, je veux dire que j'ai essayé de repasser de la forme implicite à la forme explicite mais je ne retrouvais la forme de l'énoncé du début.

[Rdvn]

Ce qui n'est pas surprenant en soi :
sauf erreur de calcul dans votre "sens inverse" ma première réponse est la bonne ,
proposez vos calculs...

[theomatheco]

A partir de l'équation trouvée : x1-2*x3+3*x2 = 3 je pose( x1, x2, x3) = (2*x3 -3*x2 +3, x2,x3) = x2(-3,1,0) + x3(2,0,1) +(3,0,0) et donc en remplacant x2 et x3 par λ et µ j'obtient λ (-3,1,0) +µ(2,0,1) +(3,0,0) ce qui me parait bien différent de la forme de l'énoncé λ (2,0,1) + µ(-1,1,1) +(0,1,0) ?

[Rdvn]

Votre seul problème est d'utiliser deux fois lambda et mu dans deux sens différents, ce qui vous trouble.
Posez x2=a et x3=b , et vous avez une seconde représentation paramétrique de H, ni meilleure ni pire que votre énoncé.
Cela va-t-il mieux ainsi ?

[theomatheco]

D'accord donc trouver deux formes différentes ne signifie pas que l'une des deux est fausses ( comme pour les bases d'espaces vectoriels ) si j'ai bien compris ? A ce moment la il n'y a donc pas de moyens pour vérifier si la forme implicite ou explicite trouvée est juste ?

Je me permet de poser une dernière question sur le sujet, j'ai vu sur internet des sujets avec non pas une équation mais un système d'équation comme forme implicite. Qu'est ce qui détermine si la forme implicite est sous la forme d'une équation ou de plusieurs équations, sachant que la dimension du plan détermine le nombre de paramètres x1, x2, x3, ... mais pas les équations ?

Merci beaucoup pour vos réponses !

[Rdvn]

Pour votre première phrase, c'est bien cela : il y a en effet une infinité de façon de choisir un point du plan et un couple de vecteurs directeurs, d'où une infinité de représentations possibles.
Je crois comprendre mieux votre soucis initial : vérifier que x1 - 2*x3 +3*x2 = 3 est une bonne réponse :
il vous suffit de remplacer x1, x2, x3, par leurs expressions en lambda et mu et de constater que l'équation est vérifiée, de façon évidente, pour toutes valeurs de lambda et mu.
Je perçois mal votre dernière question : donnez un exemple, mais à suivre demain : je décroche pour ce soir.

[theomatheco]

Je reformule ma dernière question : Le nombre de paramètres dans la forme explicite x1,x2,x3, ... dépend de la dimension dans laquelle se situe le plan affine, mais qu'est ce qui définit les équations de la forme explicite : Qu'est ce qui différencie la forme explicite d'un plan qui s'écrit par un système de plusieurs équations à une forme explicite qui s'écrit grâce à une seule équation ( comme dans mon problème )? J'ai un peu de mal à poser ma question, désolé si ce n'est pas très clair.

[Rdvn]

J'ai des difficultés à rédiger proprement, ne maîtrisant pas l'éditeur mathématique.

Pour la suite (dans l'espace affine réel de dimension 3)
A : un point fixé
M : un point quelconque
AM : le vecteur associé (d'habitude une flèche au dessus)
u et v : deux vecteurs non colinéaires (d'habitude une flèche au dessus de chacun)

La donnée de A comme point du plan H et de (u,v) comme couple de vecteurs directeurs détermine totalement le plan H :
M est un point de H si et ssi il existe deux réels a et b tels que AM = au+bv

- si vous exprimez cette relation avec les coordonnées dans un repère, vous obtenez une représentation paramétrique de H (paramètres a et b, c'est lambda et mu dans votre exercice).
- si vous observez que (sachant déjà que u et v sont non colinéaires) la relation est équivalente à det(AM,u,v) = 0, vous obtenez une équation cartésienne : relation entre les coordonnées (x1,x2,x3 dans votre exercice, c'est souvent x,y,z)
- vous pouvez bien sûr passer de l'un à l'autre comme vous l'avez fait dans votre exercice, toute la question est de choisir ce qui est plus commode à manipuler, pour répondre aux question posées (c'est souvent le choix "équation cartésienne")
Ceci répond-il à votre question ?

[theomatheco]

Ca répond parfaitement à ma question oui, merci pour votre temps !

[Rdvn]

OK
Bon courage pour la suite