Pgcd

[Polytechnique enp]

Bonsoir tout le monde, comment démontrer
Que si PGCD(a,b)=1 alors PGCD (a^n,b^n)=1 merci

[Sylviel]

Décomposition en facteurs premiers (par exemple).

[Robot]

En élevant une identité de Bezout entre a et b à la puissance 2n-1.

[Polytechnique enp]

J'arrive pas à comprendre pourquoi 2n-1

[Robot]

Parce que ça suffit. Mais si tu veux être plus au large, tu peux prendre 2n, ça ne mange pas de pain.

[aymanemaysae]

Le résultat escompté est un cas d'un cas plus général: on peut démontrer que

[aymanemaysae]

Je vois que le fil s’est relâché, et pour le tendre un peu, je vais tenter d’initier la démonstration avec l’indication donnée par Mme Silviel.

Soit u le plus grand nombre premier dans la décomposition en produit de facteurs premiers de a, et soit v le plus grand nombre premier dans la décomposition en produit de facteurs premiers de b.

Soit w = max(u,v).

Soit le kième premier nombre premier tel que = w.

Soit a = ………………………………… et b = ………………………………… ,

donc = ………………………………… et …………………………………

donc = …………………………………

= …………………………………

= ………………………………… = .


Un Grand Merci à Mme Sylviel et M. Zygomatique.

[zygomatique]

salut

si d divise a et b alors d divise a^n et b^n

si pgcd (a, b) = 1 alors d = 1 ou d = - 1

donc pgcd( a, b) = 1 => pgcd (a^n, b^n) = 1

...

[aymanemaysae]

Solution simple et agréable que ne peut donner qu'un virtuose comme vous: on apprend beaucoup avec vous M. Zygomatique. Merci.

Pour comparer la finesse de votre solution avec ma démarche sus mentionnée que j'avais entamée, je vais modifier mon ancien message en finissant ma proposition.

[nodjim]

Sinon, Mme Sylviel, en dépit de ce que l'image peut faire penser, est un Monsieur.

[Doraki]

Zygomatique j'ai pas compris ta solution je crois que tu as plutôt démontré la réciproque, ton implucation à la fin est dans le mauvais sens.

[zygomatique]

en fait il y a équivalence .... il me semble ..... mais l'énoncé ne demande qu'une implication ....


je pense que ma démo est exacte ... et très directe ... peut-être trop rapide ... mais il me semble que la propriété : d divise a => d divise a^n suffit ici pour raisonner

mais je comprends ce que tu veux dire Doraki : a^n a plus de diviseurs que a ... mais ces nouveaux diviseurs ne divisent toujours pas b^n puisque (a, b) = 1

pour une démo plus explicite la décomposition en produit de facteurs premiers donne la réponse .... en considérant ::

et

p_i et q_i nombres premiers


la réciproque justement me semblant bien plus compliquée .... pour être simple à justifier ...


par contre je suis curieux de voir la solution de Robot qui consiste à élever l'égalité de Bézout seulement à la puissance 2n - 1 et même pourquoi 2n - 1 .... vu qu'on parle de a^n et b^n

ha non ok ... on obtient l'égalité de Bézout avec a^n et b^n ... en factorisant convenablement .....

[Doraki]

d divise a => d divise a^n, ça montre ogcd(a^n,b^n) = 1 => pgcd(a,b) = 1.
Remplace a^n et b^n par ac et bc pour te convaincre du sens que tu prouves.

[nodjim]

La démo qui consiste à passer par l'unicité de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers est triviale.

[Doraki]

Elle se généralise moins bien que celle qui passe par les égalités de Bézout il me semble.

[aymanemaysae]

Il y a aussi une démonstration selon les indications de M. Robot.

On a PGCD(a,b) = 1 donc il existe (,) tels que a + b = 1.

Posons u = a et v = b.

Donc a + b = u + v = .

= + +

= + +

= + + +

= (+) + (+)

= (+) + (+) = 1,

donc PGCD(,) = 1 .

[beagle]

La démo qui consiste à passer par l'unicité de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers est triviale.

il me semble également.
PGCD de (a^n,b^n) = k

k se décompose en facteurs premiers ki^j
ki^j divise a^n, donc ki divise a^n, donc ki divise a
idem ki divise b,
ki divise a et b , ki est 1
donc k est les ki^j=1, k =1
non?

[godzylla]

ce n'est pas trival si la réponse est en 2D. il y a juste moins d'obstacle pour expliquer qu'entre a et a^n il y aurai la transmission d'une information.

un nombre décomposé en pgcd comme des ampoules en parallèle peut il être identifiable?
un nombre décomposé en pgcd et multiplié par lui même n'est il qu'une multiplication des pgcd?
un nombre décomposé en pgcd et multiplié par lui même peut il générer des pgcd?

après il y a ce problème de Pythagore expliqué dans la démonstration d'hubert sansot
(A*C)²+(B*C)²=C;)
C²+B²C²/A²=C;)/A²
et l'identité de Bézout est un truc comme ça
C²=C;)/A²-B²C²/A²

[zygomatique]

d divise a => d divise a^n, ça montre ogcd(a^n,b^n) = 1 => pgcd(a,b) = 1.
Remplace a^n et b^n par ac et bc pour te convaincre du sens que tu prouves.

sauf que ac et bc ne sont pas premiers entre eux ....

[godzylla]

pour trivial les cordes intérieur et extérieur d'un cercle par exemple, ne se rejoignent en polygone que si la corde intérieur est le diamètre et la corde extérieur est aussi d'une longueur egal au diametre sans etre effectivement au milieu du cercle, de sorte que le périmètre de 2 cordes intérieur est aussi 1/2 fois le périmètre de 4 cordes extérieur.

ici, la solution trivial est axiomatique.