PGCD - Retrouver le nombre de depart

[ArtyB]

Bonjour a tous,

Je me remets doucement a l'arithmetique avec je dois l'avouer, quelques difficultes. Si vous pouviez me donner des pistes pour cet exercice assez simple cela m'aiderait beaucoup.

Soit a un entier relatif non nul, pour quelles valeurs de a a-t-on PGCD(a,240)=12 ?

En vous remerciant,

Arthur

[chan79]

Salut
a doit bien-sûr être un multiple de 12, mais certains multiples de 12 ne conviennent pas; pense à la décomposition en facteurs premiers de a.

[ArtyB]

Merci de ta reponse.
On a donc
240=(2^4) * 3 * 5
PGCD(a,240)=12=(2^2) * 3
Or le pgcd a pour décomposition en facteurs premiers le produit des facteurs premiers apparaissant à la fois dans la décomposition de a et de 240 munis du plus petit des exposants trouvés dans la décomposition de a et de 240.
On a bien le 3 du 240, mais dans la decomposition de 240, le nombre 2 est a la puissance 4 donc il sera a la puissance 2 dans la decomposition de a et on peut ecrire:
a=(2^2) * k

Est-ce a cela que tu pensais ?

[chan79]

Merci de ta reponse.
On a donc
240=(2^4) * 3 * 5
PGCD(a,240)=12=(2^2) * 3
Or le pgcd a pour décomposition en facteurs premiers le produit des facteurs premiers apparaissant à la fois dans la décomposition de a et de 240 munis du plus petit des exposants trouvés dans la décomposition de a et de 240.
On a bien le 3 du 240, mais dans la decomposition de 240, le nombre 2 est a la puissance 4 donc il sera a la puissance 2 dans la decomposition de a et on peut ecrire:
a=(2^2) * k

Est-ce a cela que tu pensais ?

Il faut préciser k.
S'il y avait un 5 dans la décomposition de a, il y en aurait un dans celle de 12.
De plus, a doit être multiple de 3

[ArtyB]

Ah oui en effet, il faudrait que je réfléchisse un peu plus parfois.
Comme 3 apparaît dans la décomposition de 12, il apparaît dans la décomposition de a,
soit a=a=(2^2) * (3^q) * k; q un entier naturel
avec k<>5 puisqu'il n'y a pas de 5 dans la décomposition de 12
donc a=(2^2) * (3^q)

[nodjim]

Je ne m'y prendrais pas comme ça.
240=12*20=12*(5*2²).
Pour que le PGCD soit 12 et rien d'autre, les nombres doivent être de la forme 12k, mais k ne doit être ni pair, ni multiple de 5 pour éviter d'avoir un facteur commun avec 20.