PGCD et famille d'entiers
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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Ncdk
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par Ncdk » 30 Oct 2017, 18:55
Bonjour,
Soient
et
,
et
des entiers premiers entre eux deux à deux.
1- Montrer que
.
2- En déduire que
lorsque
,
J'ai fait tout un tas de bêtise sur mon brouillon, j'arrive même pas à avoir ne serait-ce qu'une idée pour démarrer l'exercice...
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jlb
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par jlb » 30 Oct 2017, 21:33
Bonsoir, tu as trouvé la question 2)?
Pour la 1): montre que le membre de gauche divise le membre de droite et vice versa ( mais attention à ne pas raconter n'importe quoi!!) Je te conseille de commencer par membre de droite divise membre de gauche, ce n'est pas trop dur, il a deux arguments à fournir. Pour membre de gauche divise membre de droite, utilise la décomposition en facteurs premiers du membre de gauche. Bonne recherche.
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Ncdk
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par Ncdk » 30 Oct 2017, 22:13
Salut,
Merci pour l'idée, je vais essayer de faire ça alors. En revanche, dans mon cours, il est fait de façon que les exercices à faire sont à chercher avec les définitions / théorèmes qui précédent, la décomposition en facteurs premiers ça vient plus tard dans le cours, est-ce que c'est le seul moyen ou il y en a d'autres ?
La question 2) je n'ai pas regardé, j'ai pensé à me servir du Lemme de Gauss, au vu des suppositions de l'exercice.
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jlb
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par jlb » 30 Oct 2017, 22:22
la 2) c'est super simple!!! soit i dans [|1;n|] si bi divise a, c'est quoi le PGCD(a,bi) ?
Du coup, c'est quoi le membre de droite dans la question 1)? et tu as ta réponse!!
pour la 1) comme ça, certainement, il faut voir... ou pas.
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Pseuda
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par Pseuda » 30 Oct 2017, 23:36
Bonsoir,
Pour simplifier, prenons b et c (et on peut raisonner par récurrence avec les b_i). Quelques idées.
Dans le sens droite divise gauche, Si b et c sont premiers entre eux, alors PGCD(a,b) et PGCD(a,c) sont premiers entre eux. Et il est évident que PGCD(a,b) divise PGCD(a,bc). Et utiliser une propriété qui découle du th. de Gauss.
...............
Modifié en dernier par
Pseuda le 31 Oct 2017, 01:13, modifié 3 fois.
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jlb
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par jlb » 30 Oct 2017, 23:48
Bon, j'ai une solution tout bête qui permet de conclure dans les deux sens!!
pour i appartenant à [|1;n|], appelons di le pgcd de a et bi, alors il existe ui et vi tels que di=aui +bivi
du coup d1....dn=(au1+b1v1).....(aun+bnvn) et il existe ( on développe le produit) U et V tel que
d1...dn=aU +b1...bnV donc le pgcd de a et b1b2...bn divise d1....dn
Pour l'autre sens, il suffit d'utiliser le même argument pour montrer que chaque di divise le membre de gauche et après bien observer les di!!
Aux modérateurs: bonsoir, peut-on effacer un message? j'ai souvenir que c'était possible avant, non?
@Pseuda: oh, tu sais, je ne vais pas t'accabler, crois-moi!!!
Modifié en dernier par
jlb le 31 Oct 2017, 00:42, modifié 3 fois.
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Pseuda
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par Pseuda » 31 Oct 2017, 00:27
C'est faux bien entendu. Je rectifie cette énormité écrite trop vite.
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Pseuda
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par Pseuda » 31 Oct 2017, 01:02
Pour ma peine, je propose une démonstration dans le sens gauche divise droite :
On pose PGCD(a,b)=k. Alors a=ka' et b=kb' avec a' et b' premiers entre eux.
PGCD(a,bc)=PGCD(ka',kb'c)=... et on remarque que PGCD(a',b'c) = PGCD (a',c) (car a' et b' premiers entre eux) et que PGCD(a',c) | PGCD (a,c) (car a'|a). Sauf erreur.
Pas vu le message de jlb. Je laisse.
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Pseuda
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par Pseuda » 31 Oct 2017, 01:08
@jlb Bien vu. C'est tout simple et très rapide avec Bézout.
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Lostounet
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par Lostounet » 31 Oct 2017, 15:19
jlb a écrit:
Aux modérateurs: bonsoir, peut-on effacer un message? j'ai souvenir que c'était possible avant, non?
Hi
Quel message voudrais-tu effacer? Il y a le "X" sur chaque poste qui permet de supprimer des messages.
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.
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jlb
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par jlb » 31 Oct 2017, 15:32
salut, j'ai du coup changé le contenu!! ( un intervenant avait fait une boulette, je lui ai signalé et il a corrigé, du coup mon message n'avait plus lieu d'être. merci, à bientôt. je pars à la recherche du "X" magique!!
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Ncdk
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par Ncdk » 01 Nov 2017, 15:19
Salut,
Merci pour votre aide, j'ai essayé de faire de droite à gauche.
Si on suit un peu le même raisonnement, on suppose que
et par la relation de Bézout on a
.
Or,
où
. donc le
.
De la même manière,
...
Donc
( ça me parait faux ! enfin il faudrait peut-être se servir de l'hypothèse 2 a 2 premiers )
Tant que j'y suis, pour la 2), je pense que c'est bon, je mets mon raisonnement quand même au cas où il y a un problème de rédaction.
Soit
pour tout
Comme
alors
.
On applique le produit des deux côtés sur
, donc on a :
Par 1) on a que
Conclusion :
donc clairement
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Pseuda
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par Pseuda » 01 Nov 2017, 20:40
Ncdk a écrit:Salut,
Merci pour votre aide, j'ai essayé de faire de droite à gauche.
Si on suit un peu le même raisonnement, on suppose que
et par la relation de Bézout on a
.
Or,
où
. donc le
.
De la même manière,
...
Donc
( ça me parait faux ! enfin il faudrait peut-être se servir de l'hypothèse 2 a 2 premiers )
Bonsoir,
Cela me paraît juste à condition de dire que comme les
sont premiers entre eux, alors les
sont premiers entre eux.
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