Un peu de topo de base

[egan]

Salut tout le monde,

Il est vrai que tout sous-espace vectoriel de dimension finie est fermé. J'ai essayé de la redémontrer avec la caractérisation séquentielle mais ça ne me semble pas simple.

J'ai trouvé un autre moyen de le faire. Comme ce sous-espace vectoriel est de dimension finie, il est complet. La complétude donne alors la fermeture.

Je n'étais plus trop sûr du dernier point. Ca m'a l'air vraie. Je vous montre ma démo. Est-ce que vous pouvez me dire si c'est correct ?

Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. Je suppose que F est de dimension finie. Alors F est complet. Je veux montrer que F est fermé.
Soit (x_n) une suite d'éléments de F qui converge vers x un élément de E.
Alors (x_n) est de Cauchy dans E et en particulier dans F.
Mais alors (x_n) converge dans F car F est complet d'où x est un élement de F.
Donc F est fermé.

Est-ce qu'il y a un autre moyen de montrer ce résultat ?

Merci d'avance.
@+ Boris.

[Pianoo]

Bonjour,

Ta démo me semble bonne.

Sinon pour la démonstration séquentielle :

Soit (x_n) un suite d'éléments de F convergent vers un élément x de E.
(x_n) est bornée dans F donc il existe une boule de rayon R incluse dans F et contenant tous éléments de la suite.
Quitte à augmenter le rayon de cette boule on peut la considérer fermée.
Nous avons donc une boule fermée bornée dans F et F est de dimension finie, cette boule est donc compacte.
La suite (x_n) vit dans cette boule compacte, elle possède donc une valeur d'adhérence (dans F), cette valeur d'adhérence est nécessairement x, donc x est dans F et F est fermé.

[egan]

J'aime bien ce que tu proposes. ^^